Упр.15 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая боковые грани по отрезкам, угол между которыми $$\alpha$$. Найдите угол наклона этой плоскости к основанию призмы (рис. 118).

Пусть плоскость проходит через сторону $$AC$$ нижнего основания и пересекает боковые грани по отрезкам $$AD$$ и $$CD$$, где $$D$$ — точка на боковом ребре призмы. Обозначим искомый угол наклона этой плоскости к основанию через $$x$$.

Проведём в основании высоту $$BH$$ треугольника $$ABC$$, тогда в равностороннем треугольнике $$ABC$$ имеем

$$BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Так как плоскость пересекает боковые грани по отрезкам, угол между которыми равен $$\alpha$$, то в сечении

$$\angle ADC=\alpha,$$

а поскольку $$AC$$ лежит в основании, то угол между прямой $$AD$$ и плоскостью основания равен $$x$$. Следовательно, в прямоугольном треугольнике $$ADH$$

$$DH=\frac{AH}{\tg \frac{\alpha}{2}}.$$

Так как $$H$$ — середина стороны $$AC$$ равностороннего треугольника, то

$$AH=\frac{a}{2}.$$

Значит,

$$DH=\frac{a}{2\tg \frac{\alpha}{2}}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DBH$$. Тогда

$$\cos x=\frac{BH}{DH}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2\tg \frac{\alpha}{2}}}=\sqrt{3}\,\tg \frac{\alpha}{2}.$$

Следовательно, угол наклона плоскости к основанию удовлетворяет равенству

$$\cos x=\sqrt{3}\,\tg \frac{\alpha}{2}.$$

Ответ: $$\cos x=\sqrt{3}\,\tg \frac{\alpha}{2}.$$