Упр.15 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая боковые грани по отрезкам, угол между которыми а. Найдите угол наклона этой плоскости к основанию призмы (рис. 118).

Подробный ответ

Пусть плоскость проходит через сторону $$AC$$ нижнего основания и пересекает боковые грани по отрезкам $$AD$$ и $$CD$$, где $$D$$ — точка на боковом ребре призмы. Обозначим искомый угол наклона этой плоскости к основанию через $$x$$.

Проведём в основании высоту $$BH \perp AC$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$DH \perp AC$$, а значит, угол между плоскостью сечения и основанием равен $$\angle DHB=x$$.

Так как основание призмы — правильный треугольник, то $$\triangle ABC$$ равносторонний, и

$$BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Угол между отрезками сечения равен $$\alpha$$, поэтому в плоскости сечения

$$\angle ADC=\alpha,$$

а так как $$AD=CD$$, то $$DH$$ является биссектрисой угла $$\angle ADC$$. Следовательно,

$$\angle ADH=\frac{\alpha}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ADH$$ имеем

$$DH=\frac{AH}{\tg \frac{\alpha}{2}}.$$

Но $$AH=\frac{a}{2}$$, значит

$$DH=\frac{a}{2\tg \frac{\alpha}{2}}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DBH$$. Тогда

$$\cos x=\cos \angle DHB=\frac{BH}{DH}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2\tg \frac{\alpha}{2}}}=\sqrt{3}\,\tg \frac{\alpha}{2}.$$