Упр.15 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Дано: Прямые a и b-параллельные;плосксоть;
Доказать: Если плоскость пересекает одну прямую, то она пересекает
и другую;
Доказательство:
1) Пусть плоскость пересекает прямую a в точке A;
2) проведем через прямые a и b плоскость, она пересекает плоскость
по некоторой прямой c, а прямая c пересекает прямую a в точке A;
3) Значит прямая c пересекает и параллельную прямой a прямую b,
а так как c лежит в плоскости, то плоскость пересекает прямую b,
что и требовалось доказать.

Пусть плоскость $$\alpha$$ пересекает прямую $$a$$ в точке $$A$$.

Через параллельные прямые $$a$$ и $$b$$ проведём плоскость $$\beta$$. Тогда плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по некоторой прямой $$c$$.

Так как точка $$A$$ принадлежит прямой $$a$$ и лежит в плоскости $$\alpha$$, а прямая $$a$$ лежит в плоскости $$\beta$$, то $$A \in c$$. Значит, прямая $$c$$ пересекает прямую $$a$$.

Но $$a \parallel b$$, следовательно, прямая $$c$$, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и другую. Значит, $$c$$ пересекает прямую $$b$$.

Поскольку $$c \subset \alpha$$, то плоскость $$\alpha$$ пересекает прямую $$b$$.

Что и требовалось доказать.