Упр.14 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Прямоугольный треугольник с катетами а и b вращается около гипотенузы. Найдите объем полученного тела (рис. 189).

Подробный ответ

Обозначим гипотенузу прямоугольного треугольника через $$AB$$, а катеты через $$AC=a$$ и $$BC=b$$. Тогда

$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Проведём высоту $$CO\perp AB$$. Тогда площадь треугольника можно выразить двумя способами:

$$S=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CO.$$

Отсюда

$$CO=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

При вращении треугольника вокруг гипотенузы получается тело, состоящее из двух конусов с общим основанием радиуса $$CO$$ и высотами $$AO$$ и $$BO$$.

Тогда объём тела равен сумме объёмов этих конусов:

$$ V=\frac{1}{3}\pi CO^2\cdot AO+\frac{1}{3}\pi CO^2\cdot BO =\frac{1}{3}\pi CO^2(AO+BO). $$

Так как $$AO+BO=AB$$, получаем

$$ V=\frac{1}{3}\pi CO^2\cdot AB =\frac{1}{3}\pi\cdot \frac{a^2b^2}{a^2+b^2}\cdot \sqrt{a^2+b^2} =\frac{\pi a^2b^2}{3\sqrt{a^2+b^2}}. $$