Упр.14 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Решите предыдущую задачу в общем случае, если площадь ромба Q, а площади диагональных сечений M и N.

Пусть площадь основания прямого параллелепипеда равна $$Q$$. Основание — ромб, значит его площадь можно выразить через диагонали:

$$Q=\frac{1}{2}AC\cdot BD,$$

откуда

$$AC\cdot BD=2Q.$$

Диагональные сечения $$ACC_1A_1$$ и $$BDD_1B_1$$ — прямоугольники. Поэтому их площади равны:

$$M=AC\cdot AA_1,$$

$$N=BD\cdot AA_1.$$

Перемножим эти равенства:

$$MN=AC\cdot BD\cdot AA_1^2.$$

Так как $$AC\cdot BD=2Q,$$ получаем

$$MN=2Q\cdot AA_1^2,$$

откуда

$$AA_1=\sqrt{\frac{MN}{2Q}}.$$

Теперь найдём объём параллелепипеда:

$$V=Q\cdot AA_1=Q\sqrt{\frac{MN}{2Q}}=\sqrt{\frac{MNQ}{2}}.$$

Ответ

$$\sqrt{\frac{MNQ}{2}}$$