Упр.14 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Радиус основания конуса R, а образующая наклонена к плоскости основания под углом а. Через вершину конуса проведена плоскость под углом ф к его высоте. Найдите площадь полученного сечения.

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение конуса. В прямоугольном треугольнике $$\triangle ACO$$ имеем

$$CO=AO\cdot \tg \alpha=R\tg \alpha.$$

Проведём $$OD\perp MK$$. Тогда $$CD\perp MK$$ по теореме о трёх перпендикулярах, а значит, $$MD=DK$$, так как $$\triangle OMK$$ равнобедренный.

В прямоугольном треугольнике $$\triangle OCD$$:

$$OD=OC\cdot \tg \varphi=R\tg \alpha \tg \varphi,$$

$$CD=\frac{OC}{\cos \varphi}=\frac{R\tg \alpha}{\cos \varphi}.$$

В прямоугольном треугольнике $$\triangle ODK$$:

$$DK=\sqrt{OK^2-OD^2}=\sqrt{R^2-R^2\tg^2\alpha \tg^2\varphi}=R\sqrt{1-\tg^2\alpha \tg^2\varphi}.$$

Так как $$MK=2DK$$, то площадь сечения $$CMK$$ равна

$$ S_{CMK}=\frac{1}{2}\cdot MK\cdot CD =\frac{1}{2}\cdot \frac{2R\tg \alpha}{\cos \varphi}\cdot R\sqrt{1-\tg^2\alpha \tg^2\varphi} =\frac{R^2\tg \alpha}{\cos \varphi}\sqrt{1-\tg^2\alpha \tg^2\varphi}. $$