Упр.14 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Радиус основания конуса $$R$$, а образующая наклонена к плоскости основания под углом $$\alpha$$. Через вершину конуса проведена плоскость под углом $$\varphi$$ к его высоте. Найдите площадь полученного сечения.

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение конуса. В прямоугольном треугольнике $$\triangle ACO$$ имеем

$$CO=AO\cdot \tg\alpha=R\tg\alpha.$$

Пусть плоскость сечения пересекает основание по хорде $$MK$$. Проведём $$OD\perp MK$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$CD\perp MK$$, а в равнобедренном треугольнике $$OMK$$ отрезок $$OD$$ является медианой, значит $$MD=DK$$.

В прямоугольном треугольнике $$\triangle OCD$$:

$$OD=OC\cdot \tg\varphi=R\tg\alpha\cdot \tg\varphi,$$

$$CD=\frac{OC}{\cos\varphi}=\frac{R\tg\alpha}{\cos\varphi}.$$

В прямоугольном треугольнике $$\triangle ODK$$:

$$DK=\sqrt{OK^2-OD^2}=\sqrt{R^2-R^2\tg^2\alpha\cdot \tg^2\varphi}=R\sqrt{1-\tg^2\alpha\cdot \tg^2\varphi}.$$

Так как $$MK=2DK$$, то площадь сечения $$CMK$$ равна

$$S_{CMK}=\frac12\cdot MK\cdot CD =\frac12\cdot 2DK\cdot CD =DK\cdot CD.$$

Подставим найденные выражения:

$$S_{CMK} =R\sqrt{1-\tg^2\alpha\cdot \tg^2\varphi}\cdot \frac{R\tg\alpha}{\cos\varphi} =\frac{R^2\tg\alpha}{\cos\varphi}\sqrt{1-\tg^2\alpha\cdot \tg^2\varphi}.$$