Упр.14 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильной шестиугольной призме, у которой боковые грани — квадраты, проведите плоскость через сторону нижнего основания и противолежащую ей сторону верхнего основания. Сторона основания равна $$a$$. Найдите площадь построенного сечения (рис. 117).

Пусть плоскость сечения проходит через ребро $$AB$$ нижнего основания и противолежащее ему ребро $$E_1D_1$$ верхнего основания. Тогда сечение — шестиугольник $$ABND_1E_1M$$.

Найдём его площадь через площадь ортогональной проекции на плоскость основания:

$$S_{\text{сеч}}=\frac{S_{\text{осн}}}{\cos \alpha},$$

где $$\alpha$$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.

Так как основание — правильный шестиугольник, то $$EA\perp AB$$. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах $$E_1E\perp AB$$, значит $$\angle EAE_1=\alpha$$.

В правильном шестиугольнике $$EE_1=a$$, а $$AE=a\sqrt{3}$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$AEE_1$$:

$$AE_1=\sqrt{EE_1^2+AE^2}=\sqrt{a^2+\left(a\sqrt{3}\right)^2}=2a.$$

Отсюда

$$\cos\alpha=\frac{AE}{AE_1}=\frac{a\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Площадь основания правильного шестиугольника равна

$$S_{\text{осн}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2.$$

Тогда

$$S_{\text{сеч}}=\frac{S_{\text{осн}}}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=3a^2.$$

Ответ: $$3a^2$$.