Упр.14 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B правильной шестиугольной призме, у которой боковые грани — квадраты, проведите плоскость через сторону нижнего основания и противолежащую ей сторону верхнего основания. Сторона основания равна а. Найдите площадь построенного сечения (рис. 117).

Обозначим через $$AB$$ сторону нижнего основания, через $$E_1D_1$$ — противолежащую ей сторону верхнего основания. Сечение плоскостью, проходящей через эти рёбра, является шестиугольником $$ABND_1E_1M$$.

Найдём его площадь через площадь ортогональной проекции на основание:

$$S_{\text{сеч}}=\frac{S_{\text{осн}}}{\cos \alpha},$$

где $$\alpha$$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.

Так как основание — правильный шестиугольник, то $$EA \perp AB$$. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах $$E_1E \perp AB$$, значит $$\angle EAE_1=\alpha$$.

В правильном шестиугольнике $$EE_1=a$$, а также $$AE=a\sqrt{3}$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$AEE_1$$:

$$ AE_1=\sqrt{EE_1^2+AE^2} =\sqrt{a^2+(a\sqrt{3})^2} =2a. $$

Отсюда

$$ \cos \alpha=\frac{AE}{AE_1} =\frac{a\sqrt{3}}{2a} =\frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Площадь основания правильного шестиугольника равна

$$ S_{\text{осн}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2. $$

Тогда

$$ S_{\text{сеч}}=\frac{S_{\text{осн}}}{\cos \alpha} =\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} =3a^2. $$

Ответ

$$3a^2$$