Упр.14 Раздел 1 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Докажите, что данные четыре точки не лежат в одной плоскости.

Подробный ответ

Предположим противное: точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$ лежат в одной плоскости.

Тогда прямые $$AB$$ и $$CD$$, а также прямые $$AC$$ и $$BD$$ не пересекаются. В одной плоскости две непересекающиеся прямые параллельны, значит

$$AB \parallel CD,\qquad AC \parallel BD.$$

Следовательно, четырёхугольник $$ABCD$$ — параллелограмм. Но у параллелограмма диагонали пересекаются, то есть прямые $$AD$$ и $$BC$$ должны иметь общую точку. Это противоречит условию, по которому прямая, проходящая через любые две из данных точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки.

Противоречие показывает, что точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$ не могут лежать в одной плоскости.