Упр.13 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: 13. Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны а. Найдите объем полученного тела вращения.

Подробный ответ

В равностороннем треугольнике $$ABC$$ сторона $$AB=a$$. При вращении вокруг стороны $$AB$$ вершина $$C$$ описывает окружность, а тело вращения состоит из двух равных конусов с общим основанием.

Так как треугольник равносторонний, то высота $$CO$$ является одновременно медианой и биссектрисой. Поэтому

$$AO=OB=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2},$$

а высота равностороннего треугольника равна

$$OC=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Объём одного конуса:

$$V_1=\frac{1}{3}\pi OC^2\cdot AO.$$

Тогда объём всего тела вращения равен

$$ V=2V_1=2\cdot \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2\cdot \frac{a}{2} =2\cdot \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{3a^2}{4}\cdot \frac{a}{2} =\frac{\pi}{4}a^3. $$