Упр.13 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основание прямого параллелепипеда — ромб, площадь которого $$1\ \text{м}^2$$. Площади диагональных сечений $$3\ \text{м}^2$$ и $$6\ \text{м}^2$$. Найдите объем параллелепипеда.

Пусть $$AA_1=h$$ — высота прямого параллелепипеда.

Площадь основания — ромба — равна $$1\text{ м}^2$$, значит, если его диагонали равны $$AC$$ и $$BD$$, то

$$\frac12 AC\cdot BD=1,$$

откуда

$$AC\cdot BD=2.$$

Диагональные сечения $$ACC_1A_1$$ и $$BDD_1B_1$$ — прямоугольники. Поэтому их площади равны

$$S_{ACC_1A_1}=AC\cdot h=3,$$

$$S_{BDD_1B_1}=BD\cdot h=6.$$

Перемножим эти равенства:

$$AC\cdot BD\cdot h^2=3\cdot 6=18.$$

Так как $$AC\cdot BD=2,$$ получаем

$$2h^2=18,$$

$$h^2=9,$$

$$h=3\text{ м}.$$

Объём параллелепипеда:

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h=1\cdot 3=3\text{ м}^3.$$

Ответ: $$3\text{ м}^3$$.