Упр.13 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Основание прямого параллелепипеда — ромб, площадь которого 1 м2. Площади диагональных сечений 3 м2 и 6 м2 Найдите объем параллелепипеда.

Пусть диагонали основания ромба равны $$AC$$ и $$BD$$, а высота прямого параллелепипеда равна $$AA_1$$.

Площадь ромба выражается через диагонали:

$$S=\frac12 AC\cdot BD=1,$$

откуда

$$AC\cdot BD=2.$$

Диагональные сечения прямого параллелепипеда $$ACC_1A_1$$ и $$BDD_1B_1$$ — прямоугольники. Поэтому их площади равны:

$$S_{ACC_1A_1}=AC\cdot AA_1=3,$$

$$S_{BDD_1B_1}=BD\cdot AA_1=6.$$

Перемножим эти равенства:

$$AC\cdot BD\cdot AA_1^2=3\cdot 6=18.$$

Так как $$AC\cdot BD=2,$$ получаем

$$2AA_1^2=18,$$

$$AA_1^2=9,$$

$$AA_1=3.$$

Теперь найдём объём параллелепипеда:

$$V=S_{\text{осн}}\cdot AA_1=1\cdot 3=3.$$

Ответ

$$3\ \text{м}^3$$