Упр.13 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Высота конуса $$20$$, радиус его основания $$25$$. Найдите площадь сечения, проведённого через вершину, если расстояние от него до центра основания конуса равно $$12$$.

Проведём в плоскости основания конуса прямую $$OD \perp MK.$$ Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$CD \perp MK.$$ Обозначим через $$E$$ точку пересечения $$OE$$ с $$CD$$, тогда $$OE=12$$ — расстояние от центра основания до секущей плоскости.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$COD$$. Так как $$CO=20$$, то

$$\sin \angle OCE=\frac{OE}{OC}=\frac{12}{20}=0{,}6,$$
$$\cos \angle OCE=\sqrt{1-\sin^2 \angle OCE}=\sqrt{1-0{,}36}=0{,}8,$$
$$\tan \angle OCE=\frac{\sin \angle OCE}{\cos \angle OCE}=\frac{0{,}6}{0{,}8}=0{,}75.$$

Тогда

$$OD=CO\cdot \tan \angle OCE=20\cdot 0{,}75=15.$$

Из прямоугольного треугольника $$COD$$ находим

$$CD=\sqrt{OD^2+CO^2}=\sqrt{15^2+20^2}=25.$$

В прямоугольном треугольнике $$OMD$$:

$$MD=\sqrt{OM^2-OD^2}=\sqrt{25^2-15^2}=20.$$

Следовательно, $$MK=2MD=40$$, а площадь сечения равна

$$S_{CMK}=\frac12 \cdot MK \cdot CD=\frac12 \cdot 40 \cdot 25=500.$$

Ответ: $$500$$.