Упр.13 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной а, боковые грани — квадраты. Найдите диагонали призмы и площади ее диагональных сечений.

Так как основания призмы — правильные шестиугольники, а боковые грани — квадраты, то все рёбра призмы равны $$a$$. Следовательно, призма правильная.

Диагональные сечения проходят через диагонали оснований, значит, это четырёхугольники $$AA_1C_1C$$ и $$AA_1D_1D$$. В правильной призме такие сечения являются прямоугольниками.

Найдём диагонали основания правильного шестиугольника. Для него

$$AD=2a,$$

так как это диаметр описанной окружности, а

$$AC=a\sqrt{3}.$$

Тогда площади диагональных сечений равны:

$$S_{AA_1C_1C}=AA_1\cdot AC=a\cdot a\sqrt{3}=a^2\sqrt{3},$$

$$S_{AA_1D_1D}=AA_1\cdot AD=a\cdot 2a=2a^2.$$

Теперь найдём диагонали призмы по теореме Пифагора:

$$ AD_1=\sqrt{AA_1^2+AD^2}=\sqrt{a^2+4a^2}=a\sqrt{5}, $$

$$ AC_1=\sqrt{AA_1^2+AC^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=\sqrt{4a^2}=2a. $$

Ответ

Площади диагональных сечений: $$a^2\sqrt{3}$$ и $$2a^2$$; диагонали призмы: $$a\sqrt{5}$$ и $$2a$$.