Упр.13 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 5-13. Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной $$a$$, боковые грани — квадраты. Найдите диагонали призмы и площади её диагональных сечений.

Так как боковые грани призмы — квадраты, то все её рёбра равны $$a$$. Следовательно, призма правильная.

Диагональные сечения проходят через диагонали оснований. Для правильной призмы такие сечения являются прямоугольниками.

Рассмотрим диагонали основания правильного шестиугольника:

$$AD=2a,$$

$$AC=a\sqrt{3}.$$

Тогда площади диагональных сечений равны:

$$S_{AA_1D_1D}=AA_1\cdot AD=a\cdot 2a=2a^2,$$

$$S_{AA_1C_1C}=AA_1\cdot AC=a\cdot a\sqrt{3}=a^2\sqrt{3}.$$

Найдём диагонали призмы по теореме Пифагора:

$$AD_1=\sqrt{AA_1^2+AD^2}=\sqrt{a^2+4a^2}=a\sqrt{5},$$

$$AC_1=\sqrt{AA_1^2+AC^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a.$$

Ответ: площади диагональных сечений $$a^2\sqrt{3}$$ и $$2a^2$$; диагонали призмы $$a\sqrt{5}$$ и $$2a$$.