Упр.13 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Через вершину квадрата $$ABCD$$ проведена прямая $$BM$$, перпендикулярная его плоскости. Докажите, что:
1) прямая $$AD$$ перпендикулярна плоскости прямых $$AB$$ и $$BM$$;
2) прямая $$CD$$ перпендикулярна плоскости прямых $$BC$$ и $$BM$$.
Проведём в плоскости $$ABM$$ через точку $$A$$ прямую $$AA_1$$, параллельную $$BM$$. Тогда, так как $$BM \perp (ABCD)$$, имеем $$AA_1 \perp AD$$.
Кроме того, в квадрате $$ABCD$$ стороны $$AB$$ и $$AD$$ перпендикулярны, то есть $$AB \perp AD$$. Следовательно, прямая $$AD$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$AB$$ и $$AA_1$$, лежащим в плоскости $$ABM$$. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости
$$AD \perp (ABM).$$
Аналогично рассмотрим плоскость $$MBC$$. Проведём в ней через точку $$C$$ прямую $$CC_1$$, параллельную $$BM$$. Тогда $$CC_1 \perp CD$$.
В квадрате $$ABCD$$ стороны $$BC$$ и $$CD$$ перпендикулярны, то есть $$BC \perp CD$$. Следовательно, прямая $$CD$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$BC$$ и $$CC_1$$, лежащим в плоскости $$MBC$$. Значит,
$$CD \perp (MBC).$$
Ответ: $$AD \perp (ABM), \quad CD \perp (MBC).$$
