Упр.13 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан треугольник $$ABC$$. Плоскость, параллельная прямой $$AB$$, пересекает сторону $$AC$$ этого треугольника в точке $$A_1$$, а сторону $$BC$$ — в точке $$B_1$$. Найдите длину отрезка $$A_1B_1$$, если:

Так как плоскость $$\alpha$$ параллельна прямой $$AB$$, то линия пересечения этой плоскости с плоскостью треугольника $$ABC$$ — отрезок $$A_1B_1$$ — тоже параллельна $$AB$$. Значит, треугольники $$CA_1B_1$$ и $$CAB$$ подобны.

Из подобия получаем:

$$\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{CA_1}{CA}=\frac{CB_1}{CB}.$$

Отсюда

$$A_1B_1=AB\cdot \frac{CA_1}{CA}.$$

Если $$AA_1$$ и $$A_1C$$ известны, то $$CA=AA_1+A_1C$$, поэтому

$$A_1B_1=AB\cdot \frac{A_1C}{AA_1+A_1C}.$$

В частности:

1. Если $$AB=15\text{ см}$$, $$AA_1:A_1C=2:3$$, то

   $$A_1B_1=15\cdot \frac{3}{2+3}=15\cdot \frac{3}{5}=9\text{ см}.$$

2. Если $$AB=8\text{ см}$$, $$AA_1:A_1C=5:3$$, то

   $$A_1B_1=8\cdot \frac{3}{5+3}=8\cdot \frac{3}{8}=3\text{ см}.$$

3. Если $$B_1C=10\text{ см}$$, $$AB:BC=4:5$$, то

   $$A_1B_1=AB\cdot \frac{B_1C}{BC}=10\cdot \frac{4}{5}=8\text{ см}.$$

4. Если $$AA_1=a$$, $$AB=b$$, $$A_1C=c$$, то

   $$A_1B_1=b\cdot \frac{c}{a+c}=\frac{bc}{a+c}.$$