Упр.12 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми рёбрами равны $$37\ \text{см}$$, $$13\ \text{см}$$ и $$40\ \text{см}$$. Найдите расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.

Подробный ответ

Из произвольной точки $$M$$ на ребре $$AA_1$$ проведём перпендикуляры $$MN$$ и $$MK$$ к рёбрам $$BB_1$$ и $$CC_1$$ соответственно. Тогда

$$MN=13\text{ см},\quad NK=37\text{ см},\quad MK=40\text{ см}.$$

Из точки $$N$$ опустим перпендикуляр $$NH$$ на отрезок $$MK$$. Тогда $$NH$$ — искомое расстояние, так как $$NH \perp AA_1C_1C$$.

Рассмотрим треугольник $$MNK$$. Его стороны равны $$13$$ см, $$37$$ см и $$40$$ см. Найдём его площадь по формуле Герона:

$$p=\frac{13+37+40}{2}=45$$

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{45\cdot(45-40)\cdot(45-37)\cdot(45-13)}$$

$$S=\sqrt{45\cdot 5\cdot 8\cdot 32}=\sqrt{57600}=240\text{ см}^2$$

С другой стороны,

$$S=\frac{1}{2}\cdot MK\cdot NH$$

откуда

$$NH=\frac{2S}{MK}=\frac{2\cdot 240}{40}=12\text{ см}.$$