Упр.12 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Докажите, что через любую точку A можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости а.

Проведём в плоскости $$\alpha$$ две пересекающиеся прямые $$b$$ и $$c$$. Через точку их пересечения построим плоскости $$\beta$$ и $$\gamma$$ так, чтобы $$\beta \perp b$$ и $$\gamma \perp c$$.

Плоскости $$\beta$$ и $$\gamma$$ пересекаются по некоторой прямой $$a$$. Так как $$a$$ перпендикулярна прямым $$b$$ и $$c$$, лежащим в плоскости $$\alpha$$ и пересекающимся в одной точке, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости имеем:

$$a \perp \alpha.$$

Теперь через любую точку $$A$$ проведём прямую $$d$$, параллельную прямой $$a$$. По теореме о параллельных прямых, перпендикулярных плоскости, если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая ей перпендикулярна. Следовательно,

$$d \perp \alpha.$$

Значит, через любую точку $$A$$ можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости $$\alpha$$.

Ответ

Через любую точку $$A$$ можно провести прямую, перпендикулярную плоскости $$\alpha$$.