Упр.12 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что через любую точку $$A$$ можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости $$\alpha$$.

Проведём в плоскости $$\alpha$$ две пересекающиеся прямые $$b$$ и $$c$$. Через точку их пересечения построим плоскости $$\beta$$ и $$\gamma$$ так, чтобы $$\beta \perp b$$, а $$\gamma \perp c$$.

Плоскости $$\beta$$ и $$\gamma$$ пересекаются по некоторой прямой $$a$$. Так как $$a$$ перпендикулярна прямым $$b$$ и $$c$$, лежащим в плоскости $$\alpha$$ и пересекающимся в одной точке, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости имеем $$a \perp \alpha$$.

Теперь через точку $$A$$ проведём прямую $$d$$, параллельную прямой $$a$$. По теореме о параллельных прямых, если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, $$d \perp \alpha$$.

Значит, через любую точку $$A$$ можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости $$\alpha$$.