Упр.12 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Даны четыре точки $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков $$AB$$ и $$CD$$, $$AC$$ и $$BD$$, $$AD$$ и $$BC$$, пересекаются в одной точке.

Подробный ответ

Пусть $$E,\ F,\ K,\ M$$ — середины отрезков $$AB,\ BC,\ CD,\ DA$$ соответственно, а $$P$$ и $$Q$$ — середины отрезков $$BD$$ и $$AC$$.

Тогда в треугольниках $$ABD$$ и $$CBD$$ отрезки, соединяющие середины сторон, параллельны третьим сторонам, значит

$$EM \parallel BD,\qquad FK \parallel BD,$$

следовательно, четырехугольник $$EMKF$$ — параллелограмм. Его диагонали $$EK$$ и $$MF$$ пересекаются в точке $$O$$ и делятся ею пополам:

$$EO=OK,\qquad FO=OM.$$

Аналогично, в четырехугольнике $$ABDC$$ точки $$E,\ P,\ K,\ Q$$ являются серединами его сторон, поэтому $$EPKQ$$ — параллелограмм. Его диагонали $$EK$$ и $$PQ$$ пересекаются в точке $$O_1$$ и делятся пополам:

$$EO_1=O_1K,\qquad PO_1=O_1Q.$$

Но через точки $$E$$ и $$K$$ проходит одна и та же прямая $$EK$$, а на ней середина отрезка определяется единственным образом. Значит, точки $$O$$ и $$O_1$$ совпадают.

Следовательно, прямые, соединяющие середины отрезков $$AB$$ и $$CD$$, $$AC$$ и $$BD$$, $$AD$$ и $$BC$$, пересекаются в одной точке.