Упр.12 Раздел 1 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Дано: Четыре точки A, B, C и D, не лежащие в одной плоскости;
Найти: Количество различных плоскостей, проходящих через три
из них;
Решение:
1) Если точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости, значит по
доказанному в задаче 1.6 никакие три из них не могут лежать на
одной прямой;
2) По теореме 1.3 через три точки, не лежащие на одной прямой,
можно провести плоскость, и притом только одну;
3) Таким образом, возможны четыре плоскости, проведенные через
точки: A, B и C; B, C и D; C, D и A; D, A и B;
Ответ: четыре.
Если четыре точки $$A, B, C, D$$ не лежат в одной плоскости, то никакие три из них не могут лежать на одной прямой. Иначе прямая и четвёртая точка определили бы одну плоскость, в которой оказались бы все четыре точки, что противоречит условию.
По теореме о плоскости через три точки, не лежащие на одной прямой, через каждую тройку таких точек можно провести единственную плоскость.
Из четырёх точек можно составить четыре тройки:
- $$A, B, C$$
- $$A, B, D$$
- $$A, C, D$$
- $$B, C, D$$
Следовательно, существует ровно четыре различные плоскости, проходящие через три из данных точек.
Ответ
$$4$$