Упр.12 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Основания трапеции равны $$19\ \text{см}$$ и $$31\ \text{см}$$, а диагонали $$39\ \text{см}$$ и $$41\ \text{см}$$. Найдите высоту трапеции.

Через вершину $$C$$ проведём прямую $$CE$$, параллельную диагонали $$BD$$. Так как $$BC \parallel AE$$ (это основания трапеции), то $$BCDE$$ — параллелограмм. Следовательно,

$$DE=BC=19\text{ см}, \qquad CE=BD=39\text{ см}.$$

Рассмотрим треугольник $$ACE$$. Проведём $$CH \perp AE$$. Тогда $$CH$$ — высота треугольника $$ACE$$ и одновременно высота трапеции.

Найдём сторону $$AE$$:

$$AE=AD+DE=31+19=50\text{ см}.$$

Теперь в треугольнике $$ACE$$ известны все стороны:

$$AC=41\text{ см}, \qquad CE=39\text{ см}, \qquad AE=50\text{ см}.$$

Вычислим полупериметр:

$$p=\frac{41+39+50}{2}=65\text{ см}.$$

По формуле Герона найдём площадь треугольника $$ACE$$:

$$S=\sqrt{p(p-AC)(p-CE)(p-AE)} =\sqrt{65\cdot 24\cdot 26\cdot 15} =780\text{ см}^2.$$

С другой стороны,

$$S=\frac12 AE\cdot CH.$$

Тогда

$$CH=\frac{2S}{AE}=\frac{2\cdot 780}{50}=31{,}2\text{ см}.$$

Ответ: $$31{,}2$$ см.