Упр.11 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Радиус основания конуса $$R$$. Осевым сечением является прямоугольный треугольник. Найдите его площадь.

Пусть $$\triangle ABC$$ — осевое сечение конуса, где $$C$$ — вершина, а $$AB$$ — диаметр основания. Тогда $$AC=CB$$, значит $$\triangle ABC$$ равнобедренный. По условию он прямоугольный, следовательно, прямой угол находится при вершине $$C$$.

Проведём $$CO\perp AB$$, где $$O$$ — центр основания конуса. Тогда $$AO=OB=R$$, а в равнобедренном треугольнике высота $$CO$$ является также медианой, поэтому $$AO=OB$$ и $$AB=2R$$.

Так как $$\triangle ABC$$ прямоугольный и равнобедренный, то $$\angle BOC=45^\circ$$. В прямоугольном треугольнике $$BOC$$ при $$\angle BOC=45^\circ$$ получаем $$CO=OB=R$$.

Теперь найдём площадь осевого сечения:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CO$$
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 2R\cdot R=R^2$$

Ответ: $$R^2$$.