Упр.11 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Докажите, что через данную точку плоскости можно провести одну и только одну перпендикулярную ей прямую.

Подробный ответ

Проведём в плоскости $$\alpha$$ через точку $$A$$ две пересекающиеся прямые $$b$$ и $$c$$.

Через точку $$A$$ проведём две плоскости, перпендикулярные прямым $$b$$ и $$c$$. Эти плоскости пересекутся по некоторой прямой $$a$$. По построению $$a \perp b$$ и $$a \perp c$$, а значит, $$a \perp \alpha$$.

Докажем единственность. Предположим, что через точку $$A$$ проходит ещё одна прямая $$a’$$, перпендикулярная плоскости $$\alpha$$. Тогда прямая $$a’$$ также перпендикулярна прямым $$b$$ и $$c$$, лежащим в плоскости $$\alpha$$.

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые $$a$$ и $$a’$$. Она пересечёт плоскость $$\alpha$$ по некоторой прямой, которая должна быть перпендикулярна и $$a$$, и $$a’$$. Но через точку $$A$$ в плоскости $$\alpha$$ нельзя провести две различные прямые, обе перпендикулярные одной и той же прямой. Следовательно, $$a$$ и $$a’$$ совпадают.

Значит, через данную точку плоскости можно провести одну и только одну прямую, перпендикулярную этой плоскости.