Упр.11 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что через данную точку плоскости можно провести одну и только одну перпендикулярную ей прямую.

Проведём в плоскости $$\alpha$$ через точку $$A$$ две пересекающиеся прямые $$b$$ и $$c$$.

Через точку $$A$$ проведём две плоскости, перпендикулярные прямым $$b$$ и $$c$$. Эти плоскости пересекутся по некоторой прямой $$a$$. По свойству такой прямой имеем $$a \perp b$$ и $$a \perp c$$, значит $$a \perp \alpha$$.

Докажем единственность. Предположим, что через точку $$A$$ проходит ещё одна прямая $$a’$$, перпендикулярная плоскости $$\alpha$$. Тогда прямая $$a’$$ перпендикулярна и прямой $$b$$, и прямой $$c$$.

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые $$a$$ и $$a’$$. Она пересекает плоскость $$\alpha$$ по некоторой прямой $$d$$. Так как обе прямые $$a$$ и $$a’$$ перпендикулярны плоскости $$\alpha$$, то они перпендикулярны любой прямой этой плоскости, проходящей через точку $$A$$, в частности прямой $$d$$. Но через точку $$A$$ в данной плоскости можно провести только одну прямую, перпендикулярную $$d$$, следовательно, $$a$$ и $$a’$$ совпадают.

Итак, через данную точку плоскости можно провести одну и только одну прямую, перпендикулярную этой плоскости.