Упр.11 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма (вершины пространственного четырехугольника не лежат в одной плоскости).

Подробный ответ

Пусть $$E, F, K, M$$ — середины отрезков $$AB, BC, CD, DA$$ соответственно.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$E$$ и $$F$$ — середины его сторон $$AB$$ и $$BC$$, то $$EF$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$. Следовательно,

$$EF \parallel AC,\qquad EF=\frac12 AC.$$

Рассмотрим треугольник $$ADC$$. Так как $$M$$ и $$K$$ — середины его сторон $$AD$$ и $$DC$$, то $$MK$$ — средняя линия треугольника $$ADC$$. Значит,

$$MK \parallel AC,\qquad MK=\frac12 AC.$$

Отсюда $$EF \parallel MK$$ и $$EF=MK$$. Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то он является параллелограммом. Следовательно, четырёхугольник $$EFKM$$ — параллелограмм.