Упр.11 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма (вершины пространственного четырехугольника не лежат в одной плоскости).

Подробный ответ

Пусть $$E, F, K, M$$ — середины отрезков $$AB, BC, CD, DA$$ соответственно.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$.

Точки $$A, B, C$$ лежат в одной плоскости, значит отрезок $$EF$$, соединяющий середины сторон $$AB$$ и $$BC$$, является средней линией треугольника $$ABC$$. Поэтому

$$EF \parallel AC,\qquad EF=\frac{1}{2}AC.$$

Аналогично, точки $$A, D, C$$ лежат в одной плоскости, значит отрезок $$MK$$ — средняя линия треугольника $$ADC$$. Следовательно,

$$MK \parallel AC,\qquad MK=\frac{1}{2}AC.$$

Отсюда получаем:

$$EF \parallel MK,\qquad EF=MK.$$

Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Значит, $$EFKM$$ — параллелограмм.