Упр.11 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами, равными 17, 65, 80, и наибольшую высоту треугольникасо сторонами, равными 13, 37 12/13, 47 1/13

Площадь треугольника найдём по формуле Герона:

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \qquad p=\frac{a+b+c}{2}.$$

С другой стороны,

$$S=\frac{1}{2}ah,$$

где $$a$$ — основание, $$h$$ — высота к этому основанию. Значит,

$$h=\frac{2S}{a}.$$

Чтобы найти наименьшую высоту, нужно взять наибольшее основание; чтобы найти наибольшую высоту — наименьшее основание.

1) Стороны треугольника: $$17,\ 65,\ 80.$$

Полупериметр:

$$p=\frac{17+65+80}{2}=\frac{162}{2}=81.$$

Площадь:

$$ S=\sqrt{81(81-17)(81-65)(81-80)} =\sqrt{81\cdot 64\cdot 16\cdot 1} =288. $$

Наименьшая высота проведена к наибольшей стороне $$80$$:

$$ h_{\min}=\frac{2S}{80}=\frac{2\cdot 288}{80}=\frac{576}{80}=7{,}2. $$

2) Стороны треугольника: $$13,\ 37\frac{12}{13},\ 47\frac{1}{13}.$$

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

$$37\frac{12}{13}=\frac{493}{13}, \qquad 47\frac{1}{13}=\frac{612}{13}.$$

Полупериметр:

$$ p=\frac{13+37\frac{12}{13}+47\frac{1}{13}}{2}=49. $$

Площадь:

$$ S=\sqrt{49(49-13)\left(49-37\frac{12}{13}\right)\left(49-47\frac{1}{13}\right)}. $$

Вычислим разности:

$$ 49-13=36,\qquad 49-37\frac{12}{13}=11\frac{1}{13}=\frac{144}{13},\qquad 49-47\frac{1}{13}=1\frac{12}{13}=\frac{25}{13}. $$

Тогда

$$ S=\sqrt{49\cdot 36\cdot \frac{144}{13}\cdot \frac{25}{13}} =7\cdot 6\cdot 12\cdot 5\cdot \frac{1}{13} =\frac{2520}{13}. $$

Наибольшая высота проведена к наименьшей стороне $$13$$:

$$ h_{\max}=\frac{2S}{13}=\frac{2\cdot \frac{2520}{13}}{13} =\frac{5040}{169}. $$

Ответ

$$7{,}2;\ \frac{5040}{169}.$$