Упр.11 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами, равными $$17$$, $$65$$, $$80$$, и наибольшую высоту треугольника со сторонами, равными $$13$$, $$37\frac{12}{13}$$, $$47\frac{1}{13}$$.

Найдём площадь каждого треугольника по формуле Герона, а затем используем формулу $$S=\frac12 ah$$, откуда $$h=\frac{2S}{a}$$. При фиксированной площади наименьшая высота соответствует наибольшему основанию, а наибольшая — наименьшему основанию.

1) Для треугольника со сторонами $$17,\ 65,\ 80$$:

$$p=\frac{17+65+80}{2}=81$$
$$S=\sqrt{81(81-17)(81-65)(81-80)}=\sqrt{81\cdot 64\cdot 16\cdot 1}=288$$

Наименьшая высота проведена к наибольшей стороне $$80$$:
$$h_{\min}=\frac{2S}{80}=\frac{2\cdot 288}{80}=\frac{576}{80}=7{,}2$$

2) Для треугольника со сторонами $$13,\ 37\frac{12}{13},\ 47\frac{1}{13}$$:

$$p=\frac{13+37\frac{12}{13}+47\frac{1}{13}}{2}=49$$
$$S=\sqrt{49\left(49-13\right)\left(49-37\frac{12}{13}\right)\left(49-47\frac{1}{13}\right)}$$
$$=\sqrt{49\cdot 36\cdot \frac{144}{13}\cdot \frac{25}{13}} =7\cdot 6\cdot \frac{12}{13}\cdot \frac{5}{13} =\frac{2520}{13}$$

Наибольшая высота проведена к наименьшей стороне $$13$$:
$$h_{\max}=\frac{2S}{13}=\frac{2\cdot \frac{2520}{13}}{13}=\frac{5040}{169}$$

Ответ: $$7{,}2$$ и $$\frac{5040}{169}$$.