Упр.10 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Образующая конуса l составляет с плос костью основания угол а. Найдите объем конуса.

Проведём высоту конуса $$SO$$. Тогда $$\triangle ASO$$ — прямоугольный, где $$AS=l$$, а угол между образующей и плоскостью основания равен $$\alpha$$, значит $$\angle SAO=\alpha$$.

Из прямоугольного треугольника получаем:

$$h=SO=AS\cdot \sin\alpha=l\sin\alpha,$$

$$R=AO=AS\cdot \cos\alpha=l\cos\alpha.$$

Площадь основания конуса:

$$S=\pi R^2=\pi l^2\cos^2\alpha.$$

Теперь найдём объём конуса:

$$ V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\cdot \pi l^2\cos^2\alpha \cdot l\sin\alpha =\frac{1}{3}\pi l^3\sin\alpha\cos^2\alpha. $$

Ответ

$$\frac{1}{3}\pi l^3\sin\alpha\cos^2\alpha$$