Упр.10 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В прямой треугольной призме стороны основания равны $$10\ \text{см}$$, $$17\ \text{см}$$ и $$21\ \text{см}$$, а высота призмы $$18\ \text{см}$$. Найдите площадь сечения, проведенного через боковое ребро и меньшую высоту основания.

Подробный ответ

Проведём в основании треугольника $$ABC$$ высоту $$BH$$ к стороне $$AC$$, а в верхнем основании — соответствующую высоту $$B_1H_1$$. Так как призма прямая, то боковые рёбра перпендикулярны основаниям, значит четырёхугольник $$BB_1H_1H$$ — прямоугольник. Его площадь и есть площадь искомого сечения.

Найдём сначала высоту $$BH$$ треугольника $$ABC$$. По формуле Герона:

$$p=\frac{10+17+21}{2}=24$$
$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-10)(p-17)(p-21)}=\sqrt{24\cdot 14\cdot 7\cdot 3}=84$$

С другой стороны,

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BH$$
$$BH=\frac{2S_{ABC}}{AC}=\frac{2\cdot 84}{21}=8\text{ см}$$

Так как основания призмы равны, то $$BH=B_1H_1=8$$ см. Высота призмы равна $$18$$ см, значит

$$BB_1=18\text{ см}$$

Тогда площадь сечения:

$$S_{BB_1H_1H}=BB_1\cdot BH=18\cdot 8=144\text{ см}^2$$

Ответ: $$144\text{ см}^2$$.