Упр.10 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: 10. Докажите, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, если: 1 )A (0; 2; -3), B (-1; 1; 1), C (2; -2; -1), D (3; -1; -5); 2) A (2; 1; 3), B (1; 0; 7), C (-2; 1; 5), D (-1; 2; 1).

Подробный ответ

Пусть $$O$$ и $$O_1$$ — середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ соответственно. Докажем, что эти середины совпадают.

1) Для точек $$A(0;2;-3)$$, $$C(2;-2;-1)$$ имеем координаты середины отрезка $$AC$$:

$$ x_O=\frac{0+2}{2}=1,\quad y_O=\frac{2+(-2)}{2}=0,\quad z_O=\frac{-3+(-1)}{2}=-2. $$

Значит, $$O(1;0;-2)$$.

Для точек $$B(-1;1;1)$$, $$D(3;-1;-5)$$ координаты середины отрезка $$BD$$:

$$ x_{O_1}=\frac{-1+3}{2}=1,\quad y_{O_1}=\frac{1+(-1)}{2}=0,\quad z_{O_1}=\frac{1+(-5)}{2}=-2. $$

Следовательно, $$O_1(1;0;-2)$$, то есть $$O=O_1$$.

Диагонали четырехугольника $$ABCD$$ пересекаются и делятся этой точкой пополам. По признаку параллелограмма отсюда следует, что $$ABCD$$ — параллелограмм.

2) Для точек $$A(2;1;3)$$, $$C(-2;1;5)$$ находим середину $$AC$$:

$$ x_O=\frac{2+(-2)}{2}=0,\quad y_O=\frac{1+1}{2}=1,\quad z_O=\frac{3+5}{2}=4. $$

Значит, $$O(0;1;4)$$.

Для точек $$B(1;0;7)$$, $$D(-1;2;1)$$ середина $$BD$$:

$$ x_{O_1}=\frac{1+(-1)}{2}=0,\quad y_{O_1}=\frac{0+2}{2}=1,\quad z_{O_1}=\frac{7+1}{2}=4. $$

Следовательно, $$O_1(0;1;4)$$, то есть снова $$O=O_1$$.

Итак, диагонали $$ABCD$$ делятся точкой пересечения пополам, значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.