Упр.10 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если:

1. 1) $$A(0; 2; -3),\ B(-1; 1; 1),\ C(2; -2; -1),\ D(3; -1; -5)$$; 2) $$A(2; 1; 3),\ B(1; 0; 7),\ C(-2; 1; 5),\ D(-1; 2; 1)$$.

Пусть $$O$$ и $$O_1$$ — середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ соответственно. Докажем, что эти середины совпадают.

Для первого случая:

$$O\left(\frac{0+2}{2};\frac{2+(-2)}{2};\frac{-3+(-1)}{2}\right)=(1;0;-2)$$
$$O_1\left(\frac{-1+3}{2};\frac{1+(-1)}{2};\frac{1+(-5)}{2}\right)=(1;0;-2)$$

Для второго случая:

$$O\left(\frac{2+(-2)}{2};\frac{1+1}{2};\frac{3+5}{2}\right)=(0;1;4)$$
$$O_1\left(\frac{1+(-1)}{2};\frac{0+2}{2};\frac{7+1}{2}\right)=(0;1;4)$$

Итак, в обоих случаях $$O=O_1$$. Значит, диагонали четырехугольника $$ABCD$$ пересекаются и делятся этой точкой пополам. Следовательно, $$ABCD$$ — параллелограмм.