Упр.10 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков AB и BC, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AD и CD.

Подробный ответ

Пусть $$E$$ и $$F$$ — середины отрезков $$AB$$ и $$BC$$, а $$M$$ и $$K$$ — середины отрезков $$AD$$ и $$CD$$ соответственно.

Точки $$A, B, C$$ лежат в одной плоскости, значит, отрезок $$EF$$ также лежит в этой плоскости. В треугольнике $$ABC$$ точки $$E$$ и $$F$$ — середины двух сторон, поэтому $$EF$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, следовательно,

$$EF \parallel AC.$$

Аналогично, точки $$A, C, D$$ лежат в одной плоскости, и в треугольнике $$ADC$$ точки $$M$$ и $$K$$ — середины двух сторон. Значит, $$MK$$ — средняя линия треугольника $$ADC$$, поэтому

$$MK \parallel AC.$$

Так как две прямые $$EF$$ и $$MK$$ параллельны одной и той же прямой $$AC$$, то

$$EF \parallel MK.$$

Что и требовалось доказать.