Упр.1 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Из точек A и В, лежащих в гранях двугранного угла, опущены перпендикуляры AA1 и BB1 на ребро угла. Найдите:1) отрезок AB, если AA1 = а, BB1 = b > A1B1 = с и двугранный угол равен а; 2) двугранный угол а, если AA1 = 3, BB1 = 4, A1B1 = 6, AB = 7.

Подробный ответ

1) Проведём прямые $$A_1C \parallel BB_1$$ и $$BC \parallel A_1B_1$$. Тогда четырёхугольник $$A_1B_1BC$$ — параллелограмм, значит

$$A_1C=BB_1=b,\qquad BC=A_1B_1=c.$$

Прямая $$A_1B_1$$ перпендикулярна плоскости $$AA_1C$$, так как она перпендикулярна пересекающимся прямым $$AA_1$$ и $$A_1C$$, лежащим в этой плоскости. Следовательно, и параллельная ей прямая $$BC$$ перпендикулярна плоскости $$AA_1C$$.

Значит, треугольник $$ABC$$ прямоугольный, и по теореме косинусов для треугольника $$AA_1C$$ получаем

$$AC^2=AA_1^2+A_1C^2-2\cdot AA_1\cdot A_1C\cos\alpha=a^2+b^2-2ab\cos\alpha.$$

Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$ABC$$:

$$AB^2=AC^2+BC^2=a^2+b^2+c^2-2ab\cos\alpha,$$

откуда

$$AB=\sqrt{a^2+b^2+c^2-2ab\cos\alpha}.$$

2) Здесь $$A_1C=BB_1=4$$ и $$CB=A_1B_1=6$$. В прямоугольном треугольнике $$ACB$$:

$$AC=\sqrt{AB^2-CB^2}=\sqrt{7^2-6^2}=\sqrt{13}.$$

Теперь по теореме косинусов в треугольнике $$AA_1C$$:

$$\cos\alpha=\frac{AA_1^2+A_1C^2-AC^2}{2\cdot AA_1\cdot A_1C}=\frac{3^2+4^2-13}{2\cdot 3\cdot 4}=\frac{12}{24}=\frac12.$$

Следовательно,

$$\alpha=60^\circ.$$