Упр.1 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Дано: Прямая a;
Доказать: Через любую точку прямой можно провести перпенди-
кулярную ей прямую;
Доказательство:
1) Пусть A-произвольная точка на прямой a;
2) Возьмем любую точку X вне прямой a и проведем через эту точку
и прямую a плоскость (теорема 1.1);
3) В плоскости через точку A можно провести прямую b, перпен-
дикулярную прямой a, что и требовалось доказать.

Пусть $$A$$ — произвольная точка прямой $$a$$.

Возьмём любую точку $$X$$, не лежащую на прямой $$a$$, и проведём через точку $$X$$ и прямую $$a$$ плоскость $$\alpha$$.

Так как точка $$A$$ принадлежит прямой $$a$$ и лежит в плоскости $$\alpha$$, то в плоскости $$\alpha$$ через точку $$A$$ можно провести прямую $$b$$, перпендикулярную прямой $$a$$.

Следовательно, через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.