Ответы на вопросы Глава 5 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
1. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:
$$V=abc.$$
Если одно из измерений увеличить в $$2$$ раза, то объём тоже увеличится в $$2$$ раза, так как
$$V’=2abc=2V.$$
Если все три измерения увеличить в $$2$$ раза, то
$$V’=(2a)(2b)(2c)=8abc=8V.$$
2. Объём куба со стороной $$a$$ равен
$$V=a^3.$$
Если ребро куба увеличить в $$2$$ раза, то новый объём будет
$$V’=(2a)^3=8a^3=8V.$$
3. Объём прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $$a$$, $$b$$, $$c$$:
$$V=abc.$$
Если два ребра увеличить в $$2$$ раза, а третье оставить без изменения, то
$$V’=(2a)(2b)c=4abc=4V.$$
4. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:
$$V=S_{\text{осн}}h.$$
Если площадь основания увеличить в $$2$$ раза, а высоту уменьшить в $$2$$ раза, то
$$V’=2S_{\text{осн}}\cdot \frac{h}{2}=S_{\text{осн}}h=V.$$
5. Объём цилиндра:
$$V=\pi r^2h.$$
Если радиус увеличить в $$2$$ раза, а высоту уменьшить в $$2$$ раза, то
$$V’=\pi(2r)^2\cdot \frac{h}{2}=2\pi r^2h=2V.$$
6. Объём конуса:
$$V=\frac13\pi r^2h.$$
Если радиус увеличить в $$2$$ раза, а высоту уменьшить в $$2$$ раза, то
$$V’=\frac13\pi(2r)^2\cdot \frac{h}{2}=2\cdot \frac13\pi r^2h=2V.$$
7. Объём шара:
$$V=\frac43\pi R^3.$$
Если радиус увеличить в $$2$$ раза, то
$$V’=\frac43\pi(2R)^3=8V.$$
8. Если все линейные размеры тела увеличиваются в $$k$$ раз, то объём увеличивается в $$k^3$$ раз.
9. Если два тела подобны и коэффициент подобия равен $$k$$, то отношение их объёмов равно
$$k^3.$$
10. Если два тела имеют равные объёмы, то это ещё не означает, что они равны или подобны.
11. Для нахождения объёма многогранника его часто разбивают на более простые части, объёмы которых можно вычислить по известным формулам, а затем складывают полученные результаты.
12. Для нахождения объёма тела вращения обычно используют формулы объёмов цилиндра, конуса и шара, а также свойства подобия.
13. Если тело состоит из нескольких частей, то его объём равен сумме объёмов этих частей:
$$V=V_1+V_2+\dots+V_n.$$
14. Если из тела вырезана часть, то объём оставшейся фигуры равен разности объёмов:
$$V=V_{\text{цел}}-V_{\text{выр}}.$$
15. При решении задач на объёмы удобно сначала выделить известные элементы: основание, высоту, радиус, образующую, а затем применить соответствующую формулу.
