Ответы на вопросы Глава 3 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Какое наименьшее число рёбер может иметь многогранник?
- Призма имеет $$n$$ граней. Какой многоугольник лежит в её основании?
- Является ли призма прямой, если две её смежные боковые грани перпендикулярны к плоскости основания?
- В какой призме боковые рёбра параллельны её высоте?
- Является ли призма правильной, если все её рёбра равны друг другу?
- Может ли высота одной из боковых граней наклонной призмы являться и высотой призмы?
- Существует ли призма, у которой:
а) боковое ребро перпендикулярно только одному ребру основания;
б) только одна боковая грань перпендикулярна к основанию? - Правильная треугольная призма разбивается плоскостью, проходящей через средние линии оснований, на две призмы. Как относятся площади боковых поверхностей этих призм?
- Будет ли пирамида правильной, если её боковыми гранями являются правильные треугольники?
- Сколько граней, перпендикулярных к плоскости основания, может иметь пирамида?
- Существует ли четырёхугольная пирамида, у которой противоположные боковые грани перпендикулярны к основанию?
- Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?
- Можно ли из куска проволоки длиной 66 см изготовить каркасную модель правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания, равной 10 см?
- На какие многогранники рассекается треугольная призма плоскостью, проходящей через вершину верхнего основания и противолежащую ей сторону нижнего основания?
1) Наименьшее число рёбер у многогранника — $$6$$. Это тетраэдр.
2) Если призма имеет $$n$$ граней, то её боковых граней $$n-2$$, а основание — $$n-2$$-угольник.
3) Да, в этом случае боковое ребро перпендикулярно плоскости основания призмы, значит призма прямая.
4) В прямой призме боковые рёбра параллельны её высоте.
5) Нет. Равенство всех рёбер — необходимое, но не достаточное условие правильной призмы.
6) Только в том случае, если эта грань перпендикулярна основаниям.
7)
- Да, может. Это наклонная призма, у которой боковое ребро не перпендикулярно плоскости основания, но перпендикулярно одному из рёбер основания.
- Нет. Если боковое ребро перпендикулярно основанию, то и соседняя боковая грань перпендикулярна основанию.
8) Пусть сторона основания равностороннего треугольника равна $$a$$. Тогда периметр треугольника, на который разбивается основание, равен $$\frac{3a}{2}$$, а периметр трапеции — $$\frac{5a}{2}$$. Поэтому площади боковых поверхностей относятся как $$3:5$$.
9) Да. Если боковые грани — правильные треугольники, то боковые рёбра равны рёбрам основания, а значит все рёбра пирамиды равны. Следовательно, пирамида правильная.
10) Две. Если грань перпендикулярна основанию, то и соответствующее боковое ребро перпендикулярно основанию. Больше двух таких граней быть не может.
11) Нет. Невозможно провести через вершину пирамиды два перпендикуляра к одной и той же плоскости основания.
12) Да. Например, можно взять пирамиду, у которой все четыре грани — прямоугольные треугольники.
13) Нет. На боковые рёбра останется $$66-40=26$$ см проволоки, то есть по $$6{,}5$$ см на каждое. Но боковое ребро должно быть больше своей проекции, а значит его длина должна быть больше $$5$$ см; при этом для правильной четырёхугольной пирамиды с основанием $$10$$ см боковое ребро должно быть больше диагонали половины основания, что здесь невозможно. Следовательно, изготовить такую модель нельзя.
14) Плоскость, проходящая через вершину верхнего основания и противолежащую ей сторону нижнего основания, рассекает призму на две пирамиды: треугольную и четырёхугольную.
