Ответы на вопросы Глава 3 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

2 Призма имеет п граней. Какой многоугольник лежит в ее основании?
3 Является ли призма прямой, если две ее смежные боковые грани перпендикулярны к плоскости основания?
4 В какой призме боковые ребра параллельны ее высоте?
5 Является ли призма правильной, если все ее ребра равны друг другу?
6 Может ли высота одной из боковых граней наклонной призмы являться и высотой призмы?
7 Существует ли призма, у которой: а) боковое ребро перпендикулярно только одному ребру основания; б) только одна боковая грань перпендикулярна к основанию?
8 Правильная треугольная призма разбивается плоскостью, проходящей через средние линии оснований, на две призмы. Как относятся площади боковых поверхностей этих призм?
9 Будет ли пирамида правильной, если ее боковыми гранями являются правильные треугольники?
10 Сколько граней, перпендикулярных к плоскости основания, может иметь пирамида?
11 Существует ли четырехугольная пирамида, у которой противоположные боковые грани перпендикулярны к основанию?
12 Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?
13 Можно ли из куска проволоки длиной 66 см изготовить каркасную модель правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания, равной 10 см?
14 На какие многогранники рассекается треугольная призма плоскостью, проходящей через вершину верхнего основания и противолежащую ей сторону нижнего основания?

1. Наименьшее число вершин многогранника, не лежащих в одной плоскости, равно $$4$$. Тогда число рёбер равно

$$\binom{4}{2}=6.$$

Это тетраэдр.

2. У призмы с $$n$$ гранями две грани — основания, а остальные $$n-2$$ граней — боковые. Число боковых граней равно числу сторон основания, значит основание — $$n-2$$-угольник.

3. Да. Если две смежные боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, то их линии пересечения с основанием перпендикулярны основанию. Так как эти линии смежные, то боковое ребро также перпендикулярно основанию призмы, следовательно, призма прямая.

4. Боковые рёбра параллельны высоте в прямой призме.

5. Нет. Равенство всех рёбер — необходимое, но не достаточное условие правильной призмы. Например, ромбическая призма может иметь все рёбра равными, но не быть правильной.

6. Да, но только если эта боковая грань перпендикулярна основаниям призмы. Тогда её высота совпадает с высотой призмы.

7.

• а) Да. Например, в наклонной призме боковое ребро может быть перпендикулярно только одному ребру основания и не быть перпендикулярным другим.
• б) Нет. Если одна боковая грань перпендикулярна основанию, то соответствующее боковое ребро перпендикулярно основанию, а значит, и соседняя грань также будет перпендикулярна основанию.

8. Пусть сторона основания правильной треугольной призмы равна $$a$$. Плоскость, проходящая через средние линии оснований, делит каждое основание на треугольник и трапецию. Тогда площади боковых поверхностей полученных призм относятся как периметры их оснований.

Для треугольной призмы периметр меньшего основания равен $$\frac{3a}{2}$$, а большего — $$\frac{5a}{2}$$. Поэтому

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{3a/2}{5a/2}=\frac{3}{5}.$$

9. Да. Если боковые грани — правильные треугольники, то боковые рёбра равны рёбрам основания. Следовательно, все рёбра пирамиды равны, а значит, основание — равносторонний треугольник, и пирамида правильная.

10. У пирамиды может быть не более двух граней, перпендикулярных к плоскости основания. Если бы таких граней было больше, то через вершину пирамиды можно было бы провести к одной и той же плоскости основания более одного перпендикуляра, что невозможно.

11. Нет. Противоположные боковые грани не могут одновременно быть перпендикулярны основанию, так как это означало бы существование двух различных перпендикуляров к одной плоскости основания, проходящих через вершину пирамиды.

12. Да. Например, можно построить пирамиду, у которой все грани — прямоугольные треугольники.

13. Нет. На рёбра основания уйдёт $$4\cdot 10=40$$ см проволоки, останется $$66-40=26$$ см на боковые рёбра, то есть по $$6{,}5$$ см на каждое. Но боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды больше диагонали половины основания, а при стороне основания $$10$$ см эта величина больше $$14$$ см. Значит, длины проволоки недостаточно.

14. Треугольная призма рассекается на две пирамиды с общей вершиной в точке сечения:

• первая — треугольная пирамида, основание которой совпадает с основанием призмы;
• вторая — четырёхугольная пирамида, основание которой составляет боковая грань призмы, содержащая сторону, по которой проведено сечение.

Ответ

1) $$6$$ рёбер, тетраэдр; 2) $$n-2$$-угольник; 3) да; 4) в прямой призме; 5) нет; 6) только если грань перпендикулярна основаниям; 7) а) да, б) нет; 8) $$3:5$$; 9) да; 10) не более двух; 11) нет; 12) да; 13) нет; 14) на две пирамиды: треугольную и четырёхугольную.