Ответы на вопросы Глава 2 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

2 Параллельные прямые b и с лежат в плоскости а, а прямая а перпендикулярна к прямой b. Верно ли утверждение: а) прямая а перпендикулярна к прямой с; б) прямая а пересекает плоскость а?
3 Прямая а перпендикулярна к плоскости а, а прямая b не перпендикулярна к этой плоскости. Могут ли прямые а и b быть параллельными?
4 Прямая а параллельна плоскости а, а прямая b перпендикулярна к этой плоскости. Верно ли утверждение, что прямые а и b взаимно перпендикулярны?
5 Прямая а параллельна плоскости a, а прямая b перпендикулярна к этой плоскости. Существует ли прямая, перпендикулярная к прямым а и b?
6 Верно ли утверждение, что все прямые, перпендикулярные к данной плоскости и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости?
7 Могут ли две плоскости, каждая из которых перпендикулярна к третьей плоскости, быть: а) параллельными плоскостями; б) перпендикулярными плоскостями?
8 Можно ли через точку пространства провести три плоскости, каждые две из которых взаимно перпендикулярны?
9 Диагональ квадрата перпендикулярна к некоторой плоскости. Как расположена другая диагональ квадрата по отношению к этой плоскости?
10 Сколько двугранных углов имеет: а) тетраэдр; б) параллелепипед?

1. Утверждение неверно: в пространстве две прямые, перпендикулярные третьей, не обязаны быть параллельными. Например, рёбра куба, перпендикулярные одному и тому же ребру, могут пересекаться. Если же все три прямые лежат в одной плоскости, то утверждение верно: две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой в плоскости, параллельны.

2. Если $$b \parallel c$$ и $$a \perp b$$, то $$a \perp c$$, так как прямые, параллельные одной и той же прямой, образуют с перпендикулярной к ней прямой равные углы.

Утверждение о том, что $$a$$ пересекает плоскость $$\alpha$$, неверно: например, может быть $$a \subset \alpha$$.

3. Нет. Если бы $$a \parallel b$$, то из $$a \perp \alpha$$ следовало бы, что и $$b \perp \alpha$$, что противоречит условию.

4. Верно. Так как $$a \parallel \alpha$$, то существует плоскость $$\beta$$, содержащая прямую $$a$$ и параллельная плоскости $$\alpha$$. Поскольку $$b \perp \alpha$$, то $$b \perp \beta$$. Следовательно, $$b \perp a$$.

5. Да, существует. Например, если $$a$$ и $$b$$ — три прямые, содержащие рёбра куба, то можно провести прямую, перпендикулярную двум из них.

6. Верно. Все прямые, перпендикулярные данной плоскости, параллельны между собой. Через две параллельные прямые всегда проходит плоскость, значит все такие прямые, пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

7. Да, могут.

• а) Например, две плоскости-основания куба и одна его боковая грань: две первые параллельны друг другу и обе перпендикулярны третьей.
• б) Да, например, три плоскости, содержащие попарно перпендикулярные рёбра куба, выходящие из одной вершины.

8. Да, можно. Это следует из примера к пункту 7: три взаимно перпендикулярные плоскости можно провести через одну точку.

9. Если одна диагональ квадрата перпендикулярна плоскости, то вторая диагональ либо параллельна этой плоскости, либо лежит в ней. Действительно, диагонали квадрата перпендикулярны друг другу, а прямая, перпендикулярная плоскости, задаёт направление, перпендикулярное любой прямой в этой плоскости.

10.
а) Тетраэдр имеет $$6$$ двугранных углов, так как у него $$6$$ рёбер.
б) У параллелепипеда $$12$$ двугранных углов: всего у него $$12$$ рёбер, но противоположные грани параллельны и не образуют двугранных углов, поэтому остаётся $$12$$ углов.

Ответ

1) Неверно; в одной плоскости — верно. 2) а) Верно; б) неверно. 3) Нет. 4) Да. 5) Да. 6) Верно. 7) а) Да; б) да. 8) Да. 9) Вторая диагональ либо параллельна плоскости, либо лежит в ней. 10) а) $$6$$; б) $$12$$.