Ответы на вопросы Глава 2 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Верно ли утверждение: если две прямые в пространстве перпендикулярны к третьей прямой, то эти прямые параллельны? Верно ли это утверждение при условии, что все три прямые лежат в одной плоскости?
- Параллельные прямые $$b$$ и $$c$$ лежат в плоскости $$\alpha$$, а прямая $$a$$ перпендикулярна к прямой $$b$$. Верно ли утверждение: а) прямая $$a$$ перпендикулярна к прямой $$c$$; б) прямая $$a$$ пересекает плоскость $$\alpha$$?
- Прямая $$a$$ перпендикулярна к плоскости $$\alpha$$, а прямая $$b$$ не перпендикулярна к этой плоскости. Могут ли прямые $$a$$ и $$b$$ быть параллельными?
- Прямая $$a$$ параллельна плоскости $$\alpha$$, а прямая $$b$$ перпендикулярна к этой плоскости. Верно ли утверждение, что прямые $$a$$ и $$b$$ взаимно перпендикулярны?
- Прямая $$a$$ параллельна плоскости $$\alpha$$, а прямая $$b$$ перпендикулярна к этой плоскости. Существует ли прямая, перпендикулярная к прямым $$a$$ и $$b$$?
- Верно ли утверждение, что все прямые, перпендикулярные к данной плоскости и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости?
- Могут ли две плоскости, каждая из которых перпендикулярна к третьей плоскости, быть: а) параллельными плоскостями; б) перпендикулярными плоскостями?
- Можно ли через точку пространства провести три плоскости, каждые две из которых взаимно перпендикулярны?
- Диагональ квадрата перпендикулярна к некоторой плоскости. Как расположена другая диагональ квадрата по отношению к этой плоскости?
- Сколько двугранных углов имеет: а) тетраэдр; б) параллелепипед?
1) Утверждение неверно. Например, рёбра куба, перпендикулярные одной и той же прямой, не обязаны быть параллельны. Если же все три прямые лежат в одной плоскости, то утверждение верно: две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой в плоскости, параллельны.
2) а) Верно. Если $$b \parallel c$$ и $$a \perp b$$, то по признаку параллельности прямых в плоскости получаем $$a \perp c$$.
б) Неверно. Например, если $$a \subset \alpha$$, то прямая $$a$$ не пересекает плоскость $$\alpha$$.
3) Нет. Если бы $$a \parallel b$$, то из $$a \perp \alpha$$ следовало бы $$b \perp \alpha$$, что противоречит условию.
4) Верно. Пусть $$a \parallel \alpha$$. Тогда существует плоскость $$\beta$$, содержащая прямую $$a$$ и параллельная плоскости $$\alpha$$. Так как $$b \perp \alpha$$, то $$b \perp \beta$$, а значит, $$b \perp a$$.
5) Да, существует. Например, три прямые, содержащие рёбра куба, выходящие из одной вершины: две из них можно взять параллельными плоскости, а третью — перпендикулярной ей.
6) Верно. Все прямые, перпендикулярные данной плоскости, параллельны между собой. Через две параллельные прямые всегда проходит плоскость, значит, все такие прямые, пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.
7) Да, могут.
- а) Например, две плоскости-основания куба и одна его боковая грань: две первые параллельны между собой и каждая перпендикулярна боковой грани.
- б) Да, например, три плоскости, содержащие попарно рёбра куба, выходящие из одной вершины.
8) Да, можно. Это следует из примера в пункте 7б.
9) Вторая диагональ квадрата либо параллельна плоскости, либо лежит в этой плоскости.
10) а) Тетраэдр имеет $$6$$ двугранных углов.
б) Параллелепипед имеет $$12$$ двугранных углов.
