Упр.99 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что три параллельные плоскости отсекают на любых двух пересекающих эти плоскости прямых пропорциональные отрезки.

Рассмотрим три возможных расположения прямых $$a$$ и $$b$$ относительно параллельных плоскостей $$\alpha,\ \beta,\ \gamma$$.

1. $$a \parallel b$$. Тогда отрезки, заключённые между параллельными плоскостями на этих прямых, равны. Следовательно,

   $$A_1A_2=A_2A,\qquad B_1B_2=B_2B,$$

   и потому

   $$A_1A_2:A_2A=B_1B_2:B_2B.$$

2. $$a \cap b = O$$. Пусть $$A_1=A\in \alpha,\ A_2\in \beta,\ A\in \gamma$$ и $$B_1\in \alpha,\ B_2\in \beta,\ B\in \gamma$$ — точки пересечения прямых $$a$$ и $$b$$ с плоскостями.

   Тогда в плоскости угла $$AOB$$ отрезки $$A_1B_1$$, $$A_2B_2$$ и $$AB$$ лежат в параллельных плоскостях, а значит, по свойству параллельных плоскостей

   $$A_1B_1 \parallel A_2B_2 \parallel AB.$$

   По теореме Фалеса для двух секущих прямых угла $$AOB$$ получаем

   $$A_1A_2:A_2A=B_1B_2:B_2B.$$

3. $$a \text{ и } b$$ скрещиваются. Проведём через точку $$O\in b$$ прямую $$c\parallel a$$. Пусть $$c$$ пересекает плоскости $$\alpha,\ \beta,\ \gamma$$ в точках $$C_1,\ C_2,\ C$$ соответственно.

   Так как $$c\parallel a$$, то по уже доказанному в первом случае

   $$A_1A_2:A_2A=C_1C_2:C_2C.$$

   А так как $$b$$ и $$c$$ пересекаются, то по второму случаю

   $$C_1C_2:C_2C=B_1B_2:B_2B.$$

   Следовательно,

   $$A_1A_2:A_2A=B_1B_2:B_2B.$$

Итак, три параллельные плоскости отсекают на любых двух пересекающих их прямых пропорциональные отрезки.