Упр.98 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Прямая $$a$$ параллельна плоскости $$\alpha$$. Существует ли плоскость, проходящая через прямую $$a$$ и параллельная плоскости $$\alpha$$? Если существует, то сколько таких плоскостей? Ответ обоснуйте.

Да, такая плоскость существует, и притом только одна.

Возьмём любую точку $$A$$ на прямой $$a$$. Через точку $$A$$ можно провести единственную плоскость $$\beta$$, параллельную плоскости $$\alpha$$.

Докажем, что прямая $$a$$ целиком лежит в плоскости $$\beta$$. Если бы $$a$$ не лежала в $$\beta$$, то, проходя через точку $$A$$, она пересекала бы плоскость $$\beta$$. Но тогда прямая $$a$$ пересекала бы и плоскость $$\alpha$$, так как $$\beta \parallel \alpha$$, что противоречит условию $$a \parallel \alpha$$.

Следовательно, плоскость $$\beta$$ проходит через прямую $$a$$ и параллельна плоскости $$\alpha$$.

Единственность следует из того, что через точку $$A$$ можно провести только одну плоскость, параллельную $$\alpha$$. Значит, через прямую $$a$$ и параллельно плоскости $$\alpha$$ проходит ровно одна плоскость.

Ответ: да, существует; такая плоскость единственная.