Упр.91 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через каждую из двух параллельных прямых а и b и точку M, не лежащую в плоскости этих прямых, проведена плоскость. Докажите, что эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной прямым а и b.

Подробный ответ

Обозначим плоскости, проведённые через прямые $$a$$ и $$M$$, а также через прямую $$b$$ и $$M$$, через $$\alpha$$ и $$\beta$$ соответственно.

Так как $$M \in \alpha$$ и $$M \in \beta$$, то плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой, проходящей через точку $$M$$. Обозначим эту прямую через $$m$$, то есть $$\alpha \cap \beta = m$$ и $$M \in m$$.

Поскольку $$a \subset \alpha$$ и $$a \parallel b$$, а прямая $$b \subset \beta$$, то прямая $$a$$ лежит в плоскости $$\alpha$$ и не пересекает плоскость $$\beta$$. Следовательно, $$a \parallel \beta$$. Аналогично, $$b \parallel \alpha$$.

Теперь рассмотрим линию пересечения плоскостей $$m$$. Так как $$a \subset \alpha$$ и $$a \parallel \beta$$, то по свойству параллельности прямой и плоскости линия пересечения плоскостей $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельна прямой $$a$$. Значит, $$m \parallel a$$.

Аналогично, из $$b \subset \beta$$ и $$b \parallel \alpha$$ получаем $$m \parallel b$$.

Итак, прямая пересечения плоскостей $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельна обеим данным прямым.