Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.9 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В треугольнике $$\mathrm{АВС}$$ проведена медиана $$\mathrm{ВМ}$$. Известно, что $$\frac{\sin\angle\mathrm{АВМ}}{\sin\angle\mathrm{СВМ}}=\frac{1}{2}$$. Найдите отношение $$\frac{\mathrm{ВС}}{\mathrm{АВ}}$$.
Рассмотрим треугольник $$ABM$$. По теореме синусов имеем
$$\frac{AB}{\sin \angle AMB}=\frac{AM}{\sin \angle ABM}.$$
Так как $$A, M, C$$ лежат на одной прямой, то углы $$\angle AMB$$ и $$\angle CMB$$ смежные, значит
$$\angle AMB=180^\circ-\angle CMB,$$
следовательно,
$$\sin \angle AMB=\sin \angle CMB.$$
Тогда
$$AB\sin \angle ABM=AM\sin \angle CMB.$$
Так как $$BM$$ — медиана, то $$AM=MC$$. Поэтому
$$AB\sin \angle ABM=MC\sin \angle CMB.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$CBM$$ и снова применим теорему синусов:
$$\frac{BC}{\sin \angle BMC}=\frac{MC}{\sin \angle CBM}.$$
Отсюда
$$BC\sin \angle CBM=MC\sin \angle BMC.$$
Сравнивая полученные равенства и учитывая условие
$$\frac{\sin \angle ABM}{\sin \angle CBM}=\frac{1}{2},$$
получаем
$$\frac{BC}{AB}=\frac{\sin \angle ABM}{\sin \angle CBM}=\frac{1}{2}.$$
Ответ: $$\frac{1}{2}$$.
