Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.9 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Сторона основания правильной треугольной призмы $$ABCA_1B_1C_1$$ равна $$2$$, а диагональ боковой грани равна $$\sqrt{5}$$. Найдите угол между плоскостью $$A_1BC$$ и плоскостью основания призмы.

Обозначим через $$E$$ середину отрезка $$BC$$. Тогда в правильном треугольнике $$ABC$$ имеем $$BE=CE=1$$, а в правильном треугольнике $$A_1BC$$ — $$A_1B=A_1C=\sqrt5$$.

Так как $$E$$ — середина $$BC$$, то в равнобедренном треугольнике $$A_1BC$$ отрезок $$A_1E$$ является высотой, значит $$A_1E\perp BC$$. Найдём его длину:

$$A_1E=\sqrt{A_1B^2-BE^2}=\sqrt{5-1}=2.$$

Аналогично в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ отрезок $$AE$$ — высота, поэтому $$AE\perp BC$$, и

$$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt3.$$

Плоскость $$A_1BC$$ пересекает плоскость основания $$ABC$$ по прямой $$BC$$. Угол между этими плоскостями равен углу между перпендикулярами к $$BC$$, проведёнными в этих плоскостях, то есть $$\angle A_1EA$$.

В треугольнике $$A_1AE$$ угол при $$E$$ прямой, так как $$A_1E\perp BC$$ и $$AE\perp BC$$. Тогда

$$\cos \angle A_1EA=\frac{AE}{A_1E}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Следовательно,

$$\angle A_1EA=30^\circ.$$

Ответ: $$30^\circ$$.