Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.9 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 равна 2, а диагональ боковой грани равна v5. Найдите угол между плоскостью A_1BC и плоскостью основания призмы.

Обозначим через $$E$$ середину отрезка $$BC$$. Тогда $$BE=CE=1$$, так как $$BC=2$$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $$A_1BC$$. В правильной призме $$A_1B=A_1C$$, а точка $$E$$ — середина основания $$BC$$, значит $$A_1E \perp BC$$. Тогда по теореме Пифагора:

$$A_1E=\sqrt{A_1B^2-BE^2}=\sqrt{5-1}=2.$$

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник $$ABC$$. Так как $$AB=BC=2$$ и $$E$$ — середина $$BC$$, то $$AE \perp BC$$. По теореме Пифагора:

$$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}.$$

В призме $$AA_1 \perp (ABC)$$, поэтому прямая $$AA_1$$ перпендикулярна любой прямой основания, в частности $$AE$$. Следовательно, угол между плоскостями $$A_1BC$$ и $$ABC$$ равен углу $$\angle A_1EA$$.

В прямоугольном треугольнике $$A_1AE$$:

$$\cos \angle A_1EA=\frac{AE}{A_1E}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Отсюда

$$\angle A_1EA=30^\circ.$$

Ответ

$$30^\circ$$