Упр.9 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости а. Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости а? Ответ обоснуйте.

Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм, $$A \in \alpha$$, $$B \in \alpha$$, а точка пересечения диагоналей $$O$$ также лежит в плоскости $$\alpha$$.

Так как $$O$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма, то она лежит на диагонали $$AC$$. Следовательно, прямая $$AO$$ принадлежит плоскости $$\alpha$$, потому что точки $$A$$ и $$O$$ лежат в этой плоскости.

Но тогда прямая $$AC$$ проходит через две точки плоскости $$\alpha$$, значит, $$AC \subset \alpha$$. Отсюда точка $$C \in \alpha$$.

Аналогично, поскольку $$O$$ лежит на диагонали $$BD$$, а точки $$B$$ и $$O$$ принадлежат плоскости $$\alpha$$, получаем $$BD \subset \alpha$$, значит, $$D \in \alpha$$.

Следовательно, все вершины параллелограмма $$ABCD$$ лежат в одной плоскости $$\alpha$$.

Ответ

Да, две другие вершины параллелограмма также лежат в плоскости $$\alpha$$.