Упр.9 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости $$\alpha$$. Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости $$\alpha$$? Ответ обоснуйте.
Пусть $$A$$ и $$B$$ — две смежные вершины параллелограмма $$ABCD$$, а точка пересечения его диагоналей — $$O$$. По условию $$A \in \alpha$$, $$B \in \alpha$$ и $$O \in \alpha$$.
Так как $$O$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма, то $$O \in AC$$ и $$O \in BD$$.
Из того, что точки $$A$$ и $$O$$ лежат в плоскости $$\alpha$$, следует, что прямая $$AO$$ целиком лежит в этой плоскости. Но $$A$$ и $$O$$ принадлежат диагонали $$AC$$, значит, $$AC \subset \alpha$$. Тогда точка $$C \in \alpha$$.
Аналогично, так как $$B \in \alpha$$ и $$O \in \alpha$$, то $$BO \subset \alpha$$. Поскольку $$B$$ и $$O$$ лежат на диагонали $$BD$$, получаем $$BD \subset \alpha$$, значит, $$D \in \alpha$$.
Следовательно, обе другие вершины параллелограмма тоже лежат в плоскости $$\alpha$$.
Ответ: да, точки $$C$$ и $$D$$ лежат в плоскости $$\alpha$$.
