Упр.89 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точки А, В, C и D не лежат в одной плоскости. Медианы треугольников ABC и CBD пересекаются соответственно в точках M₁ и M₂. Докажите, что отрезки AD и M₁M₂ параллельны.

Пусть $$K$$ — середина ребра $$BC$$, а $$M_1$$ и $$M_2$$ — точки пересечения медиан треугольников $$ABC$$ и $$CBD$$ соответственно. Тогда $$AK$$ — медиана треугольника $$ABC$$, а $$DK$$ — медиана треугольника $$DBC$$.

Из свойства медианы известно, что точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Поэтому

$$KM_1:KA=1:3,$$

$$KM_2:KD=1:3.$$

Рассмотрим треугольники $$AKD$$ и $$M_1KM_2$$. У них

$$\frac{KM_1}{KA}=\frac{KM_2}{KD}=\frac13.$$

Кроме того, угол между сторонами $$KA$$ и $$KD$$ равен углу между прямыми $$KM_1$$ и $$KM_2$$, так как точки $$M_1$$ и $$M_2$$ лежат на медианах, проведённых к одной и той же точке $$K$$. Следовательно, треугольники $$AKD$$ и $$M_1KM_2$$ подобны по двум сторонам и углу между ними.

Из подобия получаем равенство соответствующих углов:

$$\angle DAK=\angle M_1M_2K.$$

Так как эти углы являются соответственными при секущей $$AK$$, то прямые $$AD$$ и $$M_1M_2$$ параллельны.

Ответ: $$AD\parallel M_1M_2$$.