Упр.88 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Параллельные прямые $$AC$$ и $$BD$$ пересекают плоскость $$\alpha$$ в точках $$A$$ и $$B$$. Точки $$C$$ и $$D$$ лежат по одну сторону от плоскости $$\alpha$$, $$AC=8\ \text{см}$$, $$BD=6\ \text{см}$$, $$AB=4\ \text{см}$$.
а) Докажите, что прямая $$CD$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в некоторой точке $$E$$.
б) Найдите отрезок $$BE$$.

Подробный ответ

Проведём плоскость через прямые $$AC$$ и $$BD$$. Если бы $$CD \parallel AB$$, то четырёхугольник $$ABCD$$ был бы параллелограммом, а значит, $$AC=BD$$. Но по условию $$AC=8\text{ см}$$, $$BD=6\text{ см}$$, следовательно, $$CD \not\parallel AB$$.

Точки $$C$$ и $$D$$ лежат в одной плоскости $$ABCD$$, а прямая $$AB$$ принадлежит плоскости $$\alpha$$. Так как $$CD$$ не параллельна $$AB$$, то они пересекаются в некоторой точке $$E$$. Значит, $$CD \cap \alpha = E$$.

Рассмотрим треугольники $$ECA$$ и $$EDB$$. У них

$$\angle ECA = \angle EDB,$$

как соответствующие углы при параллельных прямых $$AC \parallel BD$$, и

$$\angle EAC = \angle EBD,$$

поэтому $$\triangle ECA \sim \triangle EDB$$.

Из подобия получаем:

$$\frac{EA}{EB}=\frac{AC}{BD}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$$

Так как $$E$$ лежит на прямой $$AB$$, то

$$EA=AB+BE=4+BE.$$

Тогда

$$\frac{4+BE}{BE}=\frac{4}{3}.$$

Решим уравнение: