Упр.88 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Параллельные прямые AC и BD пересекают плоскость а в точках A и В. Точки C и D лежат по одну сторону от плоскости а, AC = 8 см, BD = 6 см, AB = 4 см. a) Докажите, что прямая CD пересекает плоскость а в некоторой точке E. б) Найдите отрезок BE.

Подробный ответ

Так как $$AC \parallel BD$$ и $$AC \ne BD$$, то прямые $$AC$$ и $$BD$$ не могут лежать в одной плоскости, параллельной им обеим. Проведём плоскость через прямые $$AC$$ и $$BD$$. Тогда в этой плоскости четырёхугольник $$ABCD$$ — трапеция, а прямые $$AB$$ и $$CD$$ являются её боковыми сторонами.

Поскольку точки $$A$$ и $$B$$ лежат в плоскости $$\alpha$$, а точки $$C$$ и $$D$$ находятся по одну сторону от неё, прямая $$CD$$ не может быть параллельна плоскости $$\alpha$$. Следовательно, она пересекает плоскость $$\alpha$$ в некоторой точке $$E$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ECA$$ и $$\triangle EDB$$. У них

$$\angle ECA=\angle EDB,$$

как соответственные углы при параллельных прямых $$AC \parallel BD$$, и

$$\angle EAC=\angle EBD,$$

так как $$AE$$ и $$BE$$ лежат на одной прямой $$AB$$, а $$AC \parallel BD$$.

Значит, $$\triangle ECA \sim \triangle EDB$$, поэтому

$$\frac{EA}{EB}=\frac{AC}{BD}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$$

Так как $$A, B, E$$ лежат на одной прямой и $$B$$ находится между $$A$$ и $$E$$, то

$$AE=AB+BE=4+BE.$$

Тогда

$$\frac{4+BE}{BE}=\frac{4}{3}.$$

Решим уравнение: