Упр.870 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Исследуйте взаимное расположение параболы $$y=x^2$$ и окружности радиуса $$R$$ с центром в точке $$(0; R)$$ в зависимости от $$R$$.

Уравнение окружности с центром в точке $$O(0;R)$$ и радиусом $$R$$ имеет вид

$$x^2+(y-R)^2=R^2.$$

Найдём точки пересечения с параболой $$y=x^2$$. Подставим $$x^2=y$$ в уравнение окружности:

$$y+(y-R)^2=R^2.$$

Раскроем скобки и упростим:

$$y+y^2-2Ry+R^2=R^2,$$

$$y^2+y(1-2R)=0,$$

$$y\bigl(y+1-2R\bigr)=0.$$

Отсюда

$$y=0 \quad \text{или} \quad y=2R-1.$$

Теперь рассмотрим случаи.

• Если $$R<\frac12,$$ то $$2R-1<0,$$ а для параболы $$y=x^2$$ всегда $$y\ge 0$$. Значит, общих точек нет.
• Если $$R=\frac12,$$ то получаем только $$y=0,$$ значит, общая точка одна: $$x=0,\ y=0.$$ Окружность и парабола касаются в точке $$\bigl(0;0\bigr).$$
• Если $$R>\frac12,$$ то кроме точки $$\bigl(0;0\bigr)$$ есть ещё точки, для которых
  $$y=2R-1,\qquad x=\pm\sqrt{2R-1}.$$
  Следовательно, окружность и парабола пересекаются в трёх точках:
  $$\bigl(0;0\bigr),\ \bigl(\sqrt{2R-1};\,2R-1\bigr),\ \bigl(-\sqrt{2R-1};\,2R-1\bigr).$$

Ответ: при $$R<\frac12$$ общих точек нет; при $$R=\frac12$$ окружность и парабола касаются в точке $$\bigl(0;0\bigr);$$ при $$R>\frac12$$ они пересекаются в трёх точках $$\bigl(0;0\bigr),\ \bigl(\pm\sqrt{2R-1};\,2R-1\bigr).$$