Упр.87 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки M, N и K лежат соответственно на рёбрах: а) BB₁, AA₁, AD; б) CC₁, AD, BB₁.

а) Рассмотрим грань $$ABB_1A_1$$. Через точку $$M$$ проведём прямую, параллельную ребру $$AB$$; она пересечёт ребро $$AA_1$$ в точке $$N$$. Тогда $$MN \parallel AB$$.

Через точку $$K$$ проведём прямую, параллельную ребру $$AB$$; она пересечёт ребро $$BB_1$$ в точке $$L$$. Тогда $$KL \parallel AB$$.

Так как $$MN \parallel KL \parallel AB$$, то точки $$M, N, K, L$$ лежат в одной плоскости. Четырёхугольник $$MNKL$$ — искомое сечение.

б) Рассмотрим грань $$ADD_1A_1$$ и грань $$BCC_1B_1$$. Через точку $$N$$ проведём прямую, параллельную ребру $$MK$$; она пересечёт ребро $$DD_1$$ в точке $$P$$. Через точку $$M$$ проведём прямую, параллельную ребру $$PK$$; она пересечёт ребро $$CC_1$$ в точке $$Q$$.

Тогда $$MN \parallel KP$$ и $$NK \parallel MP$$, значит, четырёхугольник $$MNKP$$ — параллелограмм, а следовательно, искомое сечение.

Ответ: а) $$MNKL$$; б) $$MNKP$$.