Упр.868 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите эксцентриситет и напишите уравнения директрис гиперболы y=k/x (k > 0).

Повернём оси координат на $$45^\circ$$ против часовой стрелки. Тогда новые координаты $$x’$$ и $$y’$$ выражаются так:

$$x’=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y), \qquad y’=\frac{1}{\sqrt{2}}(x-y).$$

Отсюда

$$x=\frac{1}{\sqrt{2}}(x’+y’), \qquad y=\frac{1}{\sqrt{2}}(x’-y’).$$

В новых координатах уравнение гиперболы $$y=\frac{k}{x}$$ примет вид:

$$k=xy=\frac{1}{2}(x’^2-y’^2).$$

Следовательно,

$$x’^2-y’^2=2k,$$

то есть

$$\frac{x’^2}{2k}-\frac{y’^2}{2k}=1.$$

Значит, для гиперболы

$$a^2=2k,\qquad b^2=2k.$$

Для гиперболы $$\frac{x’^2}{a^2}-\frac{y’^2}{b^2}=1$$ выполняется

$$c^2=a^2+b^2.$$

Поэтому

$$c^2=2k+2k=4k,\qquad c=2\sqrt{k}.$$

Эксцентриситет равен

$$e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{k}}{\sqrt{2k}}=\sqrt{2}.$$

Найдём директрисы. Для канонической гиперболы они задаются уравнениями

$$x’=\pm \frac{a^2}{c}.$$

Так как

$$\frac{a^2}{c}=\frac{2k}{2\sqrt{k}}=\sqrt{k},$$

то

$$x’=\pm \sqrt{k}.$$

Подставим $$x’=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y)$$:

$$\frac{x+y}{\sqrt{2}}=\pm \sqrt{k}.$$

Отсюда получаем уравнения директрис:

$$x+y-\sqrt{2k}=0,$$

$$x+y+\sqrt{2k}=0.$$

Ответ

$$e=\sqrt{2}, \qquad x+y-\sqrt{2k}=0, \qquad x+y+\sqrt{2k}=0.$$