Упр.868 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Найдите эксцентриситет и напишите уравнения директрис гиперболы $$y=\frac{k}{x}$$ ($$k>0$$).

Повернём оси координат на $$45^\circ$$ против часовой стрелки. Тогда новые координаты $$x’,y’$$ выражаются через старые так:

$$x’=\frac{x+y}{\sqrt2}, \qquad y’=\frac{x-y}{\sqrt2}.$$

Отсюда

$$x=\frac{x’+y’}{\sqrt2}, \qquad y=\frac{x’-y’}{\sqrt2}.$$

Подставим это в уравнение гиперболы $$y=\frac{k}{x}$$:

$$xy=k.$$

С другой стороны,

$$xy=\frac{(x’+y’)(x’-y’)}{2}=\frac{x’^2-y’^2}{2}.$$

Значит, в новых координатах уравнение гиперболы имеет вид

$$\frac{x’^2}{2k}-\frac{y’^2}{2k}=1.$$

Следовательно,

$$a^2=2k,\qquad b^2=2k.$$

Для гиперболы выполняется

$$c^2=a^2+b^2=4k,$$

поэтому

$$c=2\sqrt{k}.$$

Эксцентриситет равен

$$e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{k}}{\sqrt{2k}}=\sqrt2.$$

Найдём директрисы. Для гиперболы с осью вдоль $$x’$$ они задаются уравнениями

$$x’=\pm \frac{a^2}{c}.$$

Так как

$$\frac{a^2}{c}=\frac{2k}{2\sqrt{k}}=\sqrt{k},$$

то

$$x’=\pm \sqrt{k}.$$

Переходя к старым координатам, получаем

$$\frac{x+y}{\sqrt2}=\pm \sqrt{k}.$$

Отсюда уравнения директрис:

$$x+y-\sqrt{2k}=0,$$

$$x+y+\sqrt{2k}=0.$$

Ответ: $$e=\sqrt2; \quad x+y-\sqrt{2k}=0; \quad x+y+\sqrt{2k}=0.$$