Упр.867 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Исследуйте взаимное расположение эллипса $$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$$ и гиперболы $$y=\frac{2\sqrt{2}}{x}$$.

Подставим уравнение гиперболы $$y=\frac{2\sqrt2}{x}$$ в уравнение эллипса:

$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1,$$

получаем

$$\frac{x^2}{9}+\frac{1}{4}\left(\frac{2\sqrt2}{x}\right)^2=1,$$

$$\frac{x^2}{9}+\frac{2}{x^2}=1.$$

Умножим на $$9x^2$$:

$$x^4-9x^2+18=0.$$

Обозначим $$t=x^2$$. Тогда

$$t^2-9t+18=0,$$

$$D=9^2-4\cdot 18=81-72=9.$$

Отсюда

$$t_1=\frac{9-3}{2}=3,\qquad t_2=\frac{9+3}{2}=6.$$

Значит,

$$x=\pm\sqrt3,\qquad x=\pm\sqrt6.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$ по формуле $$y=\frac{2\sqrt2}{x}$$:

$$x=\sqrt3 \Rightarrow y=\frac{2\sqrt2}{\sqrt3}=2\sqrt{\frac23},$$

$$x=-\sqrt3 \Rightarrow y=-2\sqrt{\frac23},$$

$$x=\sqrt6 \Rightarrow y=\frac{2\sqrt2}{\sqrt6}=\frac{2}{\sqrt3},$$

$$x=-\sqrt6 \Rightarrow y=-\frac{2}{\sqrt3}.$$

Следовательно, эллипс и гипербола пересекаются в четырёх точках:

$$\left(-\sqrt6,-\frac{2}{\sqrt3}\right),\ \left(-\sqrt3,-2\sqrt{\frac23}\right),\ \left(\sqrt6,\frac{2}{\sqrt3}\right),\ \left(\sqrt3,2\sqrt{\frac23}\right).$$

Ответ: пересекаются в четырёх точках, указанных выше.