Упр.866 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Асимптоты гиперболы проходят через начало координат и составляют с осью Ох углы в 60°. Расстояние между фокусами, лежащими на оси Ох, равно 4. а) Напишите уравнение этой гиперболы в системе координат Оху. б) Найдите эксцентриситет гиперболы. в) Напишите уравнения директрис гиперболы в системе координат Оху.
Пусть гипербола имеет канонический вид $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,$$ так как её фокусы лежат на оси $$Ox$$.
Расстояние между фокусами равно $$4,$$ значит
$$c=OF_1=OF_2=\frac{F_1F_2}{2}=2.$$
Асимптоты гиперболы имеют уравнения $$y=\pm \frac{b}{a}x.$$
По условию одна из асимптот составляет с осью $$Ox$$ угол $$60^\circ,$$ поэтому
$$\tan 60^\circ=\frac{b}{a}=\sqrt{3}.$$
Для гиперболы выполняется соотношение
$$c^2=a^2+b^2.$$
Подставим $$c=2$$ и $$b^2=3a^2$$:
$$4=a^2+3a^2=4a^2,$$
откуда
$$a^2=1,\qquad b^2=3.$$
Тогда:
а) уравнение гиперболы
$$\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1,$$
то есть
$$x^2-\frac{y^2}{3}=1.$$
б) Эксцентриситет:
$$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{1}=2.$$
в) Уравнения директрис гиперболы:
$$x=\pm \frac{a^2}{c}=\pm \frac{1}{2}.$$
Ответ
а) $$x^2-\frac{y^2}{3}=1$$; б) $$2$$; в) $$x=-\frac{1}{2},\ x=\frac{1}{2}.$$