Упр.866 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Асимптоты гиперболы проходят через начало координат и составляют с осью $$Ox$$ углы в $$60^\circ$$. Расстояние между фокусами, лежащими на оси $$Ox$$, равно $$4$$.
   а) Напишите уравнение этой гиперболы в системе координат $$Oxy$$.
   б) Найдите эксцентриситет гиперболы.
   в) Напишите уравнения директрис гиперболы в системе координат $$Oxy$$.

Расстояние между фокусами равно $$F_1F_2=4$$, значит $$c=OF_1=OF_2=2.$$

Асимптоты гиперболы образуют с осью $$Ox$$ угол $$60^\circ$$, поэтому

$$\tg 60^\circ=\frac{b}{a}=\sqrt{3}.$$

Для гиперболы выполняется соотношение

$$c^2=a^2+b^2.$$

Так как $$b^2=3a^2$$, получаем

$$c^2=a^2+3a^2=4a^2.$$

Но $$c=2$$, значит

$$4=4a^2,\qquad a^2=1,\qquad b^2=3.$$

Тогда каноническое уравнение гиперболы:

$$\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1,$$

то есть

$$x^2-\frac{y^2}{3}=1.$$

Эксцентриситет:

$$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{1}=2.$$

Уравнения директрис:

$$x=\pm \frac{a^2}{c}=\pm \frac{1}{2}.$$

Ответ: а) $$x^2-\frac{y^2}{3}=1$$; б) $$2$$; в) $$x=-\frac12$$ и $$x=\frac12$$.