Упр.865 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Исследуйте взаимное расположение эллипса $$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$$ и: а) окружности радиуса $$\sqrt{7}$$ с центром в начале координат; б) окружности радиуса $$2$$ с центром в точке $$(2; 0)$$.

Пусть эллипс задан уравнением $$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1.$$

а) Окружность с центром в начале координат и радиусом $$\sqrt7$$

Её уравнение:

$$x^2+y^2=7.$$

Найдём точки пересечения с эллипсом. Из уравнения окружности имеем $$y^2=7-x^2.$$ Подставим в уравнение эллипса:

$$\frac{x^2}{16}+\frac{7-x^2}{4}=1.$$

Умножим на $$16$$:

$$x^2+4(7-x^2)=16,$$

$$x^2+28-4x^2=16,$$

$$3x^2=12,$$

$$x^2=4,\quad x=\pm 2.$$

Тогда

$$y^2=7-4=3,\quad y=\pm \sqrt3.$$

Следовательно, окружность и эллипс пересекаются в четырёх точках:

$$\left(2;\sqrt3\right),\ \left(2;-\sqrt3\right),\ \left(-2;\sqrt3\right),\ \left(-2;-\sqrt3\right).$$

б) Окружность с центром в точке $$\left(2;0\right)$$ и радиусом $$2$$

Её уравнение:

$$\left(x-2\right)^2+y^2=4.$$

Отсюда

$$y^2=4-\left(x-2\right)^2=4-\left(x^2-4x+4\right)=4x-x^2.$$

Подставим в уравнение эллипса:

$$\frac{x^2}{16}+\frac{4x-x^2}{4}=1.$$

Умножим на $$16$$:

$$x^2+4(4x-x^2)=16,$$

$$x^2+16x-4x^2=16,$$

$$3x^2-16x+16=0.$$

Найдём корни:

$$D=16^2-4\cdot 3\cdot 16=256-192=64,$$

$$x=\frac{16\pm 8}{6}.$$

Получаем

$$x_1=4,\qquad x_2=\frac43.$$

Если $$x=4,$$ то

$$y^2=4\cdot 4-4^2=0,\quad y=0.$$

Если $$x=\frac43,$$ то

$$y^2=4\cdot \frac43-\left(\frac43\right)^2=\frac{16}{3}-\frac{16}{9}=\frac{32}{9},$$

$$y=\pm \frac{4\sqrt2}{3}.$$

Значит, окружность и эллипс касаются в точке $$\left(4;0\right)$$ и пересекаются в точках

$$\left(\frac43;\frac{4\sqrt2}{3}\right),\ \left(\frac43;-\frac{4\sqrt2}{3}\right).$$

Ответ: а) пересекаются в четырёх точках $$\left(2;\sqrt3\right),\ \left(2;-\sqrt3\right),\ \left(-2;\sqrt3\right),\ \left(-2;-\sqrt3\right);$$ б) касаются в точке $$\left(4;0\right)$$ и пересекаются в точках $$\left(\frac43;\frac{4\sqrt2}{3}\right),\ \left(\frac43;-\frac{4\sqrt2}{3}\right).$$