Упр.864 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Исследуйте взаимное расположение эллипса $$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$$ и прямой, проходящей через точки с координатами $$(1; -1)$$ и $$(3; 1)$$.

Прямая проходит через точки $$(1;-1)$$ и $$(3;1)$$, значит её угловой коэффициент

$$k=\frac{1-(-1)}{3-1}=1.$$

Тогда уравнение прямой имеет вид

$$y=x-2.$$

Подставим это выражение в уравнение эллипса:

$$\frac{x^2}{9}+\frac{(x-2)^2}{4}=1.$$

Умножим на $$36$$:

$$4x^2+9(x-2)^2=36.$$

Раскроем скобки:

$$4x^2+9(x^2-4x+4)=36,$$

$$13x^2-36x=0,$$

$$x(13x-36)=0.$$

Отсюда

$$x_1=0,\qquad x_2=\frac{36}{13}.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$y_1=0-2=-2,$$

$$y_2=\frac{36}{13}-2=\frac{10}{13}.$$

Следовательно, прямая и эллипс пересекаются в двух точках:

$$(0;-2) \text{ и } \left(\frac{36}{13};\frac{10}{13}\right).$$

Ответ

Прямая и эллипс пересекаются в точках $$(0;-2)$$ и $$\left(\frac{36}{13};\frac{10}{13}\right).$$