Упр.863 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Расстояние между двумя фокусами эллипса равно $$4\sqrt{2}$$, а отношение большой и малой полуосей равно $$3$$. а) Напишите уравнение этого эллипса в системе координат $$Oxy$$, где $$O$$ — середина отрезка, соединяющего фокусы, лежащие на оси $$Ox$$. б) Найдите эксцентриситет эллипса. в) Напишите уравнения директрис эллипса в системе координат $$Oxy$$.

Так как расстояние между фокусами эллипса равно $$4\sqrt{2},$$ то

$$c=OF_1=OF_2=\frac{1}{2}F_1F_2=2\sqrt{2}.$$

Для эллипса выполняется соотношение

$$c^2=a^2-b^2.$$

По условию $$\frac{a}{b}=3,$$ значит $$a=3b.$$ Тогда

$$c^2=a^2-b^2=9b^2-b^2=8b^2.$$

Подставим $$c=2\sqrt{2}:$$

$$8b^2=(2\sqrt{2})^2=8,$$

откуда $$b^2=1,\quad b=1,\quad a=3.$$

Ход решения

а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$

Подставляя найденные значения $$a=3$$ и $$b=1,$$ получаем

$$\frac{x^2}{9}+y^2=1.$$

б) Эксцентриситет эллипса:

$$e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$$

в) Директрисы эллипса задаются уравнениями

$$x=\pm \frac{a^2}{c}.$$

Тогда

$$\frac{a^2}{c}=\frac{9}{2\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{4}.$$

Следовательно, уравнения директрис:

$$x=\frac{9\sqrt{2}}{4},\qquad x=-\frac{9\sqrt{2}}{4}.$$

Ответ

а) $$\frac{x^2}{9}+y^2=1$$; б) $$e=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$; в) $$x=\pm \frac{9\sqrt{2}}{4}.$$