Упр.862 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

На сторонах $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$ треугольника $$ABC$$ (либо на одной из сторон и продолжениях двух других сторон) отмечены соответственно точки $$C_1$$, $$A_1$$ и $$B_1$$. Докажите, что прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда:
а) $$\frac{\sin\angle ACC_1}{\sin\angle C_1CB}\cdot\frac{\sin\angle BAA_1}{\sin\angle A_1AC}\cdot\frac{\sin\angle CBB_1}{\sin\angle B_1BA}=1$$;
б) для любой точки $$O$$, не лежащей на прямых $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$, выполняется равенство $$\frac{\sin\angle AOC_1}{\sin\angle C_1OB}\cdot\frac{\sin\angle BOA_1}{\sin\angle A_1OC}\cdot\frac{\sin\angle COB_1}{\sin\angle B_1OA}=1$$.

Подробный ответ

Обозначим

$$x=\angle ACC_1,\qquad \angle C_1CB=180^\circ-x.$$

По теореме синусов в треугольниках $$ACC_1$$ и $$BCC_1$$ получаем:

$$\frac{AC_1}{\sin \angle A C_1 C}=\frac{AC}{\sin x},\qquad \frac{BC_1}{\sin \angle C_1 C B}=\frac{BC}{\sin x}.$$

Так как $$\angle C_1CB=180^\circ-x$$, то $$\sin \angle C_1CB=\sin x$$, и потому

$$\frac{AC_1}{BC_1}=\frac{\sin \angle ACC_1}{\sin \angle C_1CB}\cdot \frac{AC}{BC}.$$

Аналогично для треугольников $$BAA_1$$ и $$CAA_1$$, а также $$CBB_1$$ и $$ABB_1$$ имеем:

$$\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{\sin \angle BAA_1}{\sin \angle A_1AC}\cdot \frac{AB}{AC}, \qquad \frac{CB_1}{AB_1}=\frac{\sin \angle CBB_1}{\sin \angle B_1BA}\cdot \frac{BC}{AB}.$$

Перемножим эти равенства:

$$\frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1} = \frac{\sin \angle ACC_1}{\sin \angle C_1CB}\cdot \frac{\sin \angle BAA_1}{\sin \angle A_1AC}\cdot \frac{\sin \angle CBB_1}{\sin \angle B_1BA}.$$

По теореме Чевы прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

$$\frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1}=1.$$

Следовательно, это равносильно условию

$$\frac{\sin \angle ACC_1}{\sin \angle C_1CB}\cdot \frac{\sin \angle BAA_1}{\sin \angle A_1AC}\cdot \frac{\sin \angle CBB_1}{\sin \angle B_1BA}=1.$$

Это и требовалось доказать.

Теперь докажем пункт б). Пусть $$O$$ — любая точка, не лежащая на прямых $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$. Обозначим

$$x=\angle AOC_1,\qquad \angle BOC_1=180^\circ-x.$$

По теореме синусов в треугольниках $$AOC_1$$ и $$BOC_1$$:

$$\frac{AC_1}{\sin \angle AOC_1}=\frac{AO}{\sin x},\qquad \frac{BC_1}{\sin \angle C_1OB}=\frac{BO}{\sin x}.$$

Отсюда

$$\frac{AC_1}{BC_1}=\frac{\sin \angle AOC_1}{\sin \angle C_1OB}\cdot \frac{AO}{BO}.$$

Аналогично, применяя теорему синусов к треугольникам $$BOA_1$$ и $$COA_1$$, а также $$COB_1$$ и $$AOB_1$$, получаем:

$$\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{\sin \angle BOA_1}{\sin \angle A_1OC}\cdot \frac{BO}{CO}, \qquad \frac{CB_1}{AB_1}=\frac{\sin \angle COB_1}{\sin \angle B_1OA}\cdot \frac{CO}{AO}.$$

Перемножая, имеем

$$\frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1} = \frac{\sin \angle AOC_1}{\sin \angle C_1OB}\cdot \frac{\sin \angle BOA_1}{\sin \angle A_1OC}\cdot \frac{\sin \angle COB_1}{\sin \angle B_1OA}.$$

По теореме Чевы прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда левая часть равна $$1$$. Значит, и правая часть равна $$1$$, что и требовалось доказать.