Упр.862 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

а) sin?ACC_1/sin?C_1CB·sin?BAA_1/sin?A_1AC·sin?CBB_1/sin?B_1BA=1;
б) для любой точки О, не лежащей на прямых АВ, ВС и СА, выполняется равенство sin?AOC_1/sin?C_1OB·sin?BOA_1/sin?A_1OC·sin?COB_1/sin?B_1OA=1.

Подробный ответ

Обозначим

$$x=\angle AC_1C,\qquad \angle C_1CB=180^\circ-x.$$

По теореме синусов в треугольниках $$\triangle CC_1B$$ и $$\triangle AC_1C$$ получаем:

$$\frac{AC_1}{\sin \angle C_1CB}=\frac{AC}{\sin x},\qquad \frac{BC_1}{\sin \angle ACC_1}=\frac{BC}{\sin x}.$$

Так как $$\sin \angle C_1CB=\sin(180^\circ-x)=\sin x,$$ то

$$\frac{AC_1}{BC_1}=\frac{\sin \angle ACC_1}{\sin \angle C_1CB}\cdot \frac{AC}{BC}.$$

Аналогично для треугольников $$\triangle BAA_1$$ и $$\triangle A_1AC$$, а также $$\triangle CBB_1$$ и $$\triangle B_1BA$$ имеем:

$$\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{\sin \angle BAA_1}{\sin \angle A_1AC}\cdot \frac{AB}{AC},$$

$$\frac{CB_1}{AB_1}=\frac{\sin \angle CBB_1}{\sin \angle B_1BA}\cdot \frac{BC}{AB}.$$

Перемножая эти равенства, получаем:

$$ \frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1} = \frac{\sin \angle ACC_1}{\sin \angle C_1CB}\cdot \frac{\sin \angle BAA_1}{\sin \angle A_1AC}\cdot \frac{\sin \angle CBB_1}{\sin \angle B_1BA}. $$

По теореме Чевы прямые $$AA_1,$$ $$BB_1,$$ $$CC_1$$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

$$\frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1}=1.$$

Следовательно, это равносильно условию

$$\frac{\sin \angle ACC_1}{\sin \angle C_1CB}\cdot \frac{\sin \angle BAA_1}{\sin \angle A_1AC}\cdot \frac{\sin \angle CBB_1}{\sin \angle B_1BA}=1,$$

что и требовалось доказать.

Теперь докажем пункт б). Пусть $$O$$ — любая точка, не лежащая на прямых $$AB,$$ $$BC,$$ $$CA.$$ Обозначим

$$x=\angle AC_1O,\qquad \angle BC_1O=180^\circ-x.$$

По теореме синусов в треугольниках $$\triangle AOC_1$$ и $$\triangle BOC_1$$:

$$\frac{AC_1}{\sin \angle AOC_1}=\frac{AO}{\sin x},\qquad \frac{BC_1}{\sin \angle C_1OB}=\frac{BO}{\sin x}.$$

Так как $$\sin \angle C_1OB=\sin(180^\circ-x)=\sin x,$$ то

$$\frac{AC_1}{BC_1}=\frac{\sin \angle AOC_1}{\sin \angle C_1OB}\cdot \frac{AO}{BO}.$$

Аналогично:

$$\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{\sin \angle BOA_1}{\sin \angle A_1OC}\cdot \frac{BO}{CO},$$

$$\frac{CB_1}{AB_1}=\frac{\sin \angle COB_1}{\sin \angle B_1OA}\cdot \frac{CO}{AO}.$$

Перемножая, получаем:

$$ \frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1} = \frac{\sin \angle AOC_1}{\sin \angle C_1OB}\cdot \frac{\sin \angle BOA_1}{\sin \angle A_1OC}\cdot \frac{\sin \angle COB_1}{\sin \angle B_1OA}. $$

По теореме Чевы левая часть равна $$1$$ тогда и только тогда, когда прямые $$AA_1,$$ $$BB_1,$$ $$CC_1$$ пересекаются в одной точке. Значит, это равносильно условию

$$\frac{\sin \angle AOC_1}{\sin \angle C_1OB}\cdot \frac{\sin \angle BOA_1}{\sin \angle A_1OC}\cdot \frac{\sin \angle COB_1}{\sin \angle B_1OA}=1.$$