Упр.861 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. На стороне АС треугольника АВС отмечены точки Р и Е, а на стороне ВС — точки М и К, причём АР:РЕ:ЕС=СК:КМ:МВ. Отрезки АМ и ВР пересекаются в точке О, а отрезки АК и BE — в точке Т. Докажите, что точки О, Т и С лежат на одной прямой.

Пусть $$AP=x,\quad PE=y,\quad EC=z.$$ Тогда из условия можно записать

$$CK=kx,\quad KM=ky,\quad MB=kz.$$

Точки $$O,A,M$$ лежат на одной прямой, поэтому для треугольника $$BPC$$ по теореме Менелая имеем

$$\frac{BO}{PO}\cdot \frac{PA}{CA}\cdot \frac{CM}{BM}=1.$$

Точки $$T,K,A$$ лежат на одной прямой, значит для треугольника $$EBC$$ по теореме Менелая

$$\frac{ET}{BT}\cdot \frac{BK}{CK}\cdot \frac{CA}{EA}=1.$$

Рассмотрим теперь треугольник $$BPE$$. Перемножим полученные равенства:

$$\frac{BO}{PO}\cdot \frac{PC}{EC}\cdot \frac{ET}{BT} = \frac{BM\cdot CA}{CM\cdot PA}\cdot \frac{PC}{EC}\cdot \frac{CK\cdot EA}{BK\cdot CA}.$$

Подставим обозначения $$PA=x,\ PE=y,\ EC=z,\ CK=kx,\ KM=ky,\ MB=kz$$ и учтём, что

$$PC=PE+EC=y+z,\qquad CA=AP+PE+EC=x+y+z,\qquad BK=BM+MK=k(y+z).$$

Тогда

$$\frac{BO}{PO}\cdot \frac{PC}{EC}\cdot \frac{ET}{BT} = \frac{kz\cdot (x+y+z)\cdot kx\cdot (x+y)} {k(y+z)\cdot x\cdot z\cdot k(x+y)} =1.$$

Следовательно, для треугольника $$BPE$$ точки $$O,T,C$$ удовлетворяют теореме Менелая, а значит, они лежат на одной прямой.